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$ ABC $ triangolo con $\Gamma$ circonferenza circoscritta. Sia $A_1$ la seconda intersezione di $\Gamma$ con la parallela a $BC$ passante per $A$, e siano similmente definiti $B_1,C_1$. Dimostrare che le perpenicolari da $A_1,B_1,C_1$ a $BC,CA,AB$ concorrono (altrimenti detto, i triangoli $ABC$ e $A_1B_1C_1$ sono ortologici)

[un po' offtopic] PS: una domanda per i più esperti: cosa si può dire sui centri ortologici di due triangoli? Wolfram dice che sono coniugati isogonali.. ma rispetto a quale triangolo e perché? A me sembra che siano coniugati isogonali quando i vertici di uno dei triangoli appartengono ai lati dell'altro..Boh! [\un po' offtopic]

Chiamiamo, per comodità, $ r $ l'altezza $ AH $ relativa a $ BC $, $ s $ la perpendicolare a $ BC $ per $ A_1 $ e $ t $ l'asse di $ BC $: queste rette sono chiaramente parallele tra loro. Essendo $ BC $ e $ AA_1 $ due corde di $ \Gamma $ parallele per ipotesi, i loro assi coincidono, dunque $ t $ è anche l'asse di $ AA_1 $ e di conseguenza passa per il suo punto medio, ma $ A \in r $ e $ A_1 \in s $, perciò $ t $ è equidistante da $ r $ e $ s $: queste ultime saranno quindi simmetriche rispetto a qualunque punto di $ t $, e in particolare al circocentro di $ ABC $. Applicando lo stesso procedimento agli altri lati concludiamo che le rette di cui si vuole dimostrare la concorrenza sono le simmetriche, rispetto al centro di $ \Gamma $ (giusto per non fare ripetizioni ), delle altezze di $ ABC $, ovvero le altezze del simmetrico di $ ABC $, che dovranno per forza concorrere.

Per quanto riguarda l'off-topic i centri ortologici sono rispettivamente ortocentro e feuerbach del triangolo AA',BB',CC' e sono anche coniugati isogonali rispetto a questo... ma per curiosità come hai fatto a fartelo dire da wolfram?

Se non avete nulla da dire sulla mia soluzione, ecco il problema 3.

Soluzione OK;
fede, mi è oscuro quello che dici.. I centri ortologici di $ ABC $e $ A_1B_1C_1 $sono ortocentro e centro della circonferenza di Feuerbach del triangolo formato dalle rette $ AA_1 $, $ BB_1 $e $ CC_1 $ ? Questo vuoi dire? Se sì, è vero, ma non sono coniugati isogonali!

Federiko ha scritto:ma non sono coniugati isogonali!

Buono a sapersi (allora non so rispetto a che triangolo... forse rispetto al triangolo mediale o a quello ortologico (quindi ABC o A'B'C') ortocentro e feuerbach sono coniugati isogonali boh )