Gara a squadre bonus

[doiug.8]

(Dalla gara a squadre 11/03/2011)
James deve entrare in una capsula sferica di superficie $60m^2$. Sa che l'apertura è costituita da un triangolo sferico con angoli di $90°$, $60°$,$45°$. Un triangolo sferico è la parte di superficie sferica racchiusa da tre archi di circonferenze massime. James cerca di capire se l'apertura sarà abbastanza ampia per entrare insieme con Honey. Qual è l'area del triangolo sferico?
Bonus: Se l'apertura fosse un pentagono sferico con somma di angoli pari a $800°$, quale sarebbe l'area di tale figura?

[spugna]

Se non sbaglio, nella geometria sferica l'area di un triangolo è direttamente proporzionale alla somma dei suoi angoli meno 180°, dunque
$ S=k(\alpha + \beta + \gamma - 180°) $
Se $ \alpha=\beta=\gamma=90° $ si nota facilmente che la superficie del triangolo sarebbe $ \dfrac{1}{8} $ di quella della sfera, cioè $ 7,5m^2 $, da cui $ k=\dfrac{1m^2}{12°} $. Perciò l'area del triangolo in questione, in $ m^2 $, sarà
$ S=\dfrac{1}{12}(90°+60°+45°-180°)=1,25 $
Giusto?

[doiug.8]

Se non sbaglio, nella geometria sferica l'area di un triangolo è direttamente proporzionale alla somma dei suoi angoli meno 180°, dunque
$ S=k(\alpha + \beta + \gamma - 180°) $
Se $ \alpha=\beta=\gamma=90° $ si nota facilmente che la superficie del triangolo sarebbe $ \dfrac{1}{8} $ di quella della sfera, cioè $ 7,5m^2 $, da cui $ k=\dfrac{1m^2}{12°} $. Perciò l'area del triangolo in questione, in $ m^2 $, sarà
$ S=\dfrac{1}{12}(90°+60°+45°-180°)=1,25 $
Giusto?

Si, torna. Per la cronaca, $ S=r^2(\alpha+\beta+\gamma-\pi) $ che sarebbe carino dimostrare (altrimenti non avrebbe molto senso questo topic!). Vabbè, il passo da qui al bonus è davvero breve!

[Euler]

Un'alternativa è usare il principio di inclusione-esclusione osservando che i 3 spicchi (cioè quelli da 90°, 60° e 45°) insieme coprono tutta la superficie della sfera. Chiamando $S_1$, $S_2$, $S_3$ le superfici dei 3 spicchi basta risolvere:
$60=S_1+S_2+S_3-2S-2S-2S+2S$
$60=\frac{60}{2}+\frac{60}{3}+\frac{60}{4}-4S$
$S=\frac{5}{4}=1,25$
Per il bonus si può usare lo stesso metodo, è solo che è abbastanza bovino, lo lascio a qualcun'altro

[doiug.8]

Un'alternativa è usare il principio di inclusione-esclusione osservando che i 3 spicchi (cioè quelli da 90°, 60° e 45°) insieme coprono tutta la superficie della sfera. Chiamando $S_1$, $S_2$, $S_3$ le superfici dei 3 spicchi basta risolvere:
$60=S_1+S_2+S_3-2S-2S-2S+2S$
$60=\frac{60}{2}+\frac{60}{3}+\frac{60}{4}-4S$
$S=\frac{5}{4}=1,25$
Per il bonus si può usare lo stesso metodo, è solo che è abbastanza bovino, lo lascio a qualcun'altro

E' proprio questa l'idea per dimostrare la formula da me citata!.....Il metodo bovino per il bonus può essere evitato.....

[Euler]

Hai ragione, si fa molto prima dividendo il pentagono in 3 triangoli. Chiamo $S_1$, $S_2$ e $S_3$ le loro aree e con $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_9$ i loro angoli, la cui somma fa 800°. Quindi adesso l'area è
$\displaystyle S=S_1+S_2+S_3=\frac{60}{4}(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3}{180°}-1)+...+\frac{60}{4}(\frac{\alpha_7+\alpha_8+\alpha_9}{180°}-1)=15\cdot (\frac{\alpha_1+...+\alpha_9}{180°}-3)=$
$=15\cdot \frac{13}{9}=\frac{65}{3}$
A questo punto la generalizzazione è facile: quanto vale l'area di un poligono sferico a n lati la cui somma degli angoli interni è k?

[doiug.8]

A questo punto la generalizzazione è facile: quanto vale l'area di un poligono sferico a n lati la cui somma degli angoli interni è k?

Vabbè rispondo io (sembra brutto lasciare in sospeso la domanda). Usando la notazione di Euler, $ S=r^2(k-(n-2)\pi) $.