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determinare tutti i valori di $ m,n,p $ tali che $ p^n+144=m^2 $ dove $ m,n $ sono interi positivi e $ p $ è un numero primo.

Riscrivo come $p^n = (m+12)(m-12)$, per cui mi servono due potenze di un primo che differiscano di 24. Risolvo $p^a-p^b=24$, che mi dice, raccogliendo, che $p^b|24$. Se $b=0$ ottengo $p^a-1=24$, cioè $p=5$, $a=2$. Se $b≥1$, $p|24$, quindi $p=2$ o $p=3$. Nel primo caso non ci sono soluzioni, nel secondo necessariamente $b=1$ e quindi $a=3$. Le soluzioni sono dunque $(13, 2, 5)$ e $(15, 4, 3)$.

quindi p=2 o p=3. Nel primo caso non ci sono soluzioni

bella dimostrazione ma questa affermazione secondo me è sbagliata, comunque si aggiusta subito(basta provare).

Ah, è vero, c'è $32-8$, in questo caso si ha la terna $(20, 8, 2)$.