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Rilancio un problema finito nel dimenticatoio.

Dato un quadrato ABCD si prendano due punti E e F, rispettivamente su BC e sul prolungamento di CD, in modo che A,E e F siano allineati. Detto G il punto medio di BE, si dimostri che:

1)la retta FG è tangente alla circonferenza inscritta in ABCD;

2)FG e DE si incontrano in un punto che giace sulla circonferenza circoscritta ad ABCD.

Piccolo hint per la seconda tesi:

L'ho fatto in analitica ma è un po' lunghetto, esiste una soluzione sintetica?

In effetti ricordo che nel risolverlo la prima volta mi erano venuti dei calcoli abbastanza brutti, infatti ho messo questo problema per vedere se qualcuno avrebbe trovato una soluzione decente... Ora, riprovandoci, ne ho trovata una decisamente migliore per la prima parte... Vedo cosa riesco a fare con la seconda

Io ho trovato una soluzione che tecnicamente è sintetica, ma si rivela un sistema di 10 equazioni con 11 incognite...

Allora, la prima parte si fa tranquillamente con poca trigonometria. Chiamate $M$ il punto medio di $CD$ e indicate con $R$ il raggio della circonferenza inscritta, con $a$ la distanza $MF$. Allora
$FG$ è tangente se e solo se $G\widehat{F}M=2\alpha$ e $\tan \alpha=R/a$. Quindi
$$\tan(2\alpha)=\frac{2Ra}{a^2-R^2}$$
Dunque $GC=\tan(2\alpha)(a-R)=\frac{2aR}{a+R}$.
Quindi poniamo $GC=2R-h$, allora $h=2R-CG=\frac{2R^2}{a+R}$. Da cui
$$BE=2BG=2h=\frac{4R^2}{a+R}$$
e quindi
$$EC=2R-BE=\frac{2aR-2R^2}{a+R}=2R\frac{a-R}{a+R}$$
e dunque è evidente che $AB/BE=CF/EC$.

(visto che nessuno osava scriverla).