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Userò questo fatto noto, di cui ometto la dimostrazione: $$ \prod_{k=1}^{p-1} k! = \prod_{k=1}^{p-1} k^{p-k}=\prod_{k=1}^{p-1} (p-k)!$$.

Riscrivo tutto in questo modo :$$\prod_{k=1}^{p-1}\frac{k^{2k-1}}{k^p}=\frac{\prod_{k=1}^{p-1} k^{2k-1}}{\prod_{k=1}^{p-1} k^p}=\frac{\prod_{k=1}^{p-1}k^{k^2}}{((p-1)!)^{p+1}}=$$
$$=\frac{(\prod_{k=1}^{p-1}k^{p-1})^2}{\prod_{k=1}^{p-1}k^{p+1}(\prod_{k=1}^{p-1} k!)^2((p-1)!)^2}=\frac{\prod_{k=1}^{p-1}k^{p-3}}{((p-1)!)^2\prod_{k=1}^{p-1}k!(p-k)!}=$$
$$=\frac{\frac{((p-1)!)^{p-1}}{((p-1)!)^2}}{\frac{((p-1)!)^2}{\prod_{k=1}^{p-1} k!(p-k)!}}=\frac{\prod_{k=1}^{p-1} p!}{\prod_{k=1}^{p-1}k!(p-k)!\prod_{k=1}^{p-1}p}=\prod_{k=1}^{p-1} \frac{{p} \choose {k}}{p} \in \mathbb{Z}$$