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Data una sequenza $ a_1,a_2,..a_n $ con $ a_i \ge 0 $ tale che $ a_i \le a_{i+1} \le 2a_i $, si dimostri che è possibile scegliere i segni della somma $ s=\pm a_1 \pm a_2...\pm a_n $ in modo che si abbia $ 0 \le s \le a_1 $

Per $ n=1 $ è ovvio.
Suppongo di saperlo fare con ogni sequenza di $ n $ numeri reali.
Prendo una sequenza con $ n+1 $ elementi e dimostro che riesco a farlo anche con quella!

Per ipotesi induttiva io so scegliere i segni di $ s'=\pm a_2\pm a_3\pm\dots\pm a_{n+1} $ in maniera tale che si abbia $ 0\leq s'\leq a_2 $.
Pongo $ s_0=s'-a_1 $, essendo $ s'\leq a_2\leq2a_1 $, ho $ s_0 \leq a_1 $, ma essendo $ s'\geq 0 $, ho $ s_0\geq-a_1 $.
Quindi se $ s_0\geq 0 $ pongo $ s=s_0 $, mentre se $ s_0<0 $ cambio tutti i segni ottenendo $ s=-s_0 $.
In entrambi i casi la tesi è soddisfatta.

Aspetto conferma prima di postare il prossimo problema.

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