Righe di Tartaglia
Righe di Tartaglia
Fissato un numero primo $ p $, diciamo che due righe del triangolo di Tartaglia sono simili se, dopo aver eliminato i multipli di $ p $ e sostituito gli altri numeri con i loro resti nella divisione per $ p $, esse risultano identiche.
Dimostrate che per ogni $ n \ge 1 $ le righe $ n $ e $ (n-1)p+1 $ sono simili.
Dimostrate che per ogni $ n \ge 1 $ le righe $ n $ e $ (n-1)p+1 $ sono simili.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Righe di Tartaglia
perchè in matematica ricreativa?
secondo me uno spazio in TdN se lo merita
secondo me uno spazio in TdN se lo merita
Re: Righe di Tartaglia
Non ero sicuro di poterlo considerare un problema "olimpico" perchè è una proprietà che ho trovato per conto mio e non leggendola da qualche parte. E poi, di solito se si posta un problema in TDN bisogna sapere la soluzione, e non sono sicuro che la mia vada bene...
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Righe di Tartaglia
Potrebbe centrare qualcosa che le cifre della n-sima potenza di 11 sono le stesse della n-esima riga??
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Re: Righe di Tartaglia
banalmente
$$11^n=(10+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}10^k$$
e il triangolo di tartaglia ti dice all'n+1-sima riga gli esponenti della potenza n-esima di un binomio
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$$
1
1 1
1 2 1
...
la tua osservazione ovviamnete funziona fino a che il binomiale e' a 1 cifra. infatti $11^5=161051$ ma la sesta riga e' "1 5 10 10 5 1"
$$11^n=(10+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}10^k$$
e il triangolo di tartaglia ti dice all'n+1-sima riga gli esponenti della potenza n-esima di un binomio
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$$
1
1 1
1 2 1
...
la tua osservazione ovviamnete funziona fino a che il binomiale e' a 1 cifra. infatti $11^5=161051$ ma la sesta riga e' "1 5 10 10 5 1"
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Re: Righe di Tartaglia
ovvero la riga $n$ e' data da $\binom{n-1}{k}$ e la riga $(n-1)p+1$ da $\binom{(n-1)p}{k}$
$(np)!$ contiene esattamente n volte p
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Re: Righe di Tartaglia
Ho sempre paura di scrivere blasfemie quando non sono d'accordo in un passaggio, comunque (per fare un esempio) $10!$ contiene 8 volte 2, e non 5: la tesi vale anche per $ n>p $SkZ ha scritto:$(np)!$ contiene esattamente n volte p
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Righe di Tartaglia
giusto: dimenticato le potenze di p minori di np (anche p e' un numero )
cmq mi pare che per quello che avevo in testa basta porre "$(np)!$ contiene almeno n volte p"
mi pare che il numero esatto sia $\sum_{i=1}\left\lfloor\frac{a}{p^i}\right\rfloor$ per la potenza di p nella scomposizione in fattori primi di a!, anche se mi pare ci sia un modo piu' decente per scriverlo
cmq mi pare che per quello che avevo in testa basta porre "$(np)!$ contiene almeno n volte p"
mi pare che il numero esatto sia $\sum_{i=1}\left\lfloor\frac{a}{p^i}\right\rfloor$ per la potenza di p nella scomposizione in fattori primi di a!, anche se mi pare ci sia un modo piu' decente per scriverlo
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Re: Righe di Tartaglia
Non ho capito se il tuo messaggio è un'ulteriore risposta a Drago96 o una dimostrazione. In tal caso cosa si dovrebbe concludere da questo passaggio?SkZ ha scritto:$(np)!$ contiene esattamente n volte p
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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Re: Righe di Tartaglia
era solo che i numeri di una riga del triangolo sono dei binomiali e ci interessano quelli che non sono congrui a 0 modulo p.
mi pare che dovrebbe aiutare a capire quali lo sono.
No non e' una dimostrazione:
1) non ho tempo per dedicarmi a pieno (idee nate in momenti di distrazione e rispondendo a drago)
2) sono dell'idea che faccia meglio ai liceali rispondere
mi pare che dovrebbe aiutare a capire quali lo sono.
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Re: Righe di Tartaglia
Ovvero la riga n è data da $ {(n-1)! \over k! \cdot (n-1-k)!} $SkZ ha scritto:la riga $n$ e' data da $\binom{n-1}{k}$ e la riga $(n-1)p+1$ da $\binom{(n-1)p}{k}$
E $(n-1)p+1$ è $ {(n-1)p! \over k! \cdot (pn-p-k)!} $
Da ciò deduco che tutti gli elementi (a parte gli 1 iniziali e finali) della riga $(n-1)p+1$ sono congrui a 0 mod p, qualunque sia k (e sarei tentato di dire qualunque sia n, ma la coppia p=3, n=5 mi smonta... quindi dico con $p>n$ e altri casi)
Domani nelle ore di mate e scienze ci penso...
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Re: Righe di Tartaglia
Mi sembra falso, guarda quiDrago96 ha scritto: Da ciò deduco che tutti gli elementi (a parte gli 1 iniziali e finali) della riga $(n-1)p+1$ sono congrui a 0 mod p, qualunque sia k (e sarei tentato di dire qualunque sia n, ma la coppia p=3, n=5 mi smonta... quindi dico con $p>n$ e altri casi)
Re: Righe di Tartaglia
Ah, ecco...paga92aren ha scritto:Mi sembra falso, guarda quiDrago96 ha scritto: Da ciò deduco che tutti gli elementi (a parte gli 1 iniziali e finali) della riga $(n-1)p+1$ sono congrui a 0 mod p, qualunque sia k (e sarei tentato di dire qualunque sia n, ma la coppia p=3, n=5 mi smonta... quindi dico con $p>n$ e altri casi)
E' che calcolavo $ 0! = 0 $ Invece ora ho scoperto che $ 0! = 1 $
Ora ho molto di più da pensare nell'ora di matematica...
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Re: Righe di Tartaglia
Se a qualcuno interessa ancora, potrei postare un hint: ditemi voi...
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Re: Righe di Tartaglia
Se lo facessi, te ne sarei grato!
Mi interessa questo fatto...
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