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T è il punto medio di RK

D è il punto medio dell'altro arco BC.
1)BCKR allineati (BCK è per costruzione): MOD allineati e perpendicolare a BC quindi mi basta dimostrare che RK è perpendicolare a MD.
Gli angoli $\widehat{MAD}$ e $\widehat{MA'D}$ sono retti perché insistono sul diametro MD, quindi K è l'ortocentro del triangolo MDR e l'altezza RK è perpendicolare alla base MD.
2) T è allineato con RK: mi basta dimostrare che T è il centro cerchio passante per AA'KR dato che KR è un diametro perché gli angoli in A e in A' sono retti.
Chiamo $\alpha$ l'angolo $\widehat{A'MD}$ che è uguale a $\widehat{A'RK}$ perché complementari di $\widehat{MDR}$. L'angolo al centro $\widehat{A'OD}=2\alpha$.
Analogamente $\widehat{KRA}=\beta$ e $\widehat{AOM}=2\beta$. Poiché OMD sono allineati $\widehat{ATA'}=2(\alpha +\beta)$ e $\widehat{ARA'}=\alpha +\beta$.
Sappiamo che T appartiene all'asse di AA' (lo stesso vale per il centro della circonferenza) e l'angolo in T che insiste su AA' è il doppio dell'angolo alla circonferenza $\widehat{ARA'}$ quindi uguale all'angolo al centro. Di conseguenza T è il centro della circonferenza, che equivale alla tesi.