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Quanti possibili caselle posso toccare con n mosse partendo da un vertice di una scacchiera infinita

1a) se mi posso muovere sù giù destra e sinistra
2a) se sono un re
3a) se sono un cavallo
4a) se sono una pedina della dama dopo aver fatto dama

e in quante caselle diverse posso arrivare con n mosse

1b) se mi posso muovere se giù destra e sinistra
2b) se sono un re
3b) se sono un cavallo
4b) se sono una pedina della dama dopo aver fatto dama

Alcuni sono semplici, altri li ho trovati molto interessanti!

Scusami forse è il sonno, ma qual è la differenza tra "quante caselle posso toccare" e "in quante caselle diverse posso arrivare"?

Comunque
BONUS. Stesso problema, ma aggiungendo la condizione che non posso passare 2 volte dalla stessa casella.

per "quante caselle posso toccare" intende... quante caselle può toccare
per "in quante caselle diverse posso arrivare" intende "quante possono essere le diverse caselle di arrivo"