OliForum Matematico

Sperando che non esistano soluzioni estremamente banali non trovate dal sottoscritto, vi propongo questo problema (possibilmente da non "bruciare" subito)

Dimostrare che, comunque si prendano sul piano un triangolo equilatero $ABC$ e un punto $P$ (non necessariamente esterno), si può costruire un triangolo avente come lati $PA$, $PB$ e $PC$.

Bonus: determinare in quale caso si ottiene un triangolo degenere.

Ahimè pensavo di esser stato bravo a risolverlo prima di rendermi conto che si conclude in un lampo con un noto teorema..

Non lo brucio ma ammetto che mi aveva proprio fregato..!

Tolomeo a parte, esiste anche un'altra dimostrazione.

Ruotiamo tutto rispetto a B di 60°, allora: P va in P', A va in C, C va in C'. Ma allora PP'=PB e P'C=PA, quindi il trianglo PP'C soddisfa.

Molto bello! E giustamente se P $ \in $ circonferenza circoscritta ad ABC si vede che P,P' e C sono allineati e si sistema il caso degenere!

Sonner ha scritto:Tolomeo a parte, esiste anche un'altra dimostrazione.

Ruotiamo tutto rispetto a B di 60°, allora: P va in P', A va in C, C va in C'. Ma allora PP'=PB e P'C=PA, quindi il trianglo PP'C soddisfa.

Proprio come avevo fatto io