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Sono dati un triangolo $ ABC $ e tre ceviane AD, BE, CF concorrenti. Siano M, N e P punti su EF, FD e DE rispettivamente.
Allora AM, BN, CP concorrono se e solo se DM, EN e FP concorrono.

PS: se qualche mod passasse di qui potrebbe cambiare il titolo in Staffetta 8 che mi son sbagliato? Grassie

Credo che possa farlo tu stesso: modifica il messaggio cliccando su EDIT e cambia il titolo nella casella Subject.

Sia O il punto di concorrenza delle 3 ceviane iniziali. Con una proiettività posso mandare A,B,C,O nei vertici di un triangolo equilatero e nel suo centro (o se preferite posso mandare O nel baricentro del trasformato di ABC). La tesi sulla figura trasformata è equivalente a quella originale, nel senso che si può fare la proiettività inversa. Ora abbiamo che AB è parallelo a EF e simili. Se la retta AM taglia BC in M' abbiamo che per Talete BM'/M'C=FM/ME, e similmente per gli altri lati definendo N' e P'. Le ceviane del triangolo DEF concorrono se e solo se $ \frac{FM\cdot EP\cdot DN}{ME\cdot PD\cdot NF}=-1 $ per il teorema di Ceva; le ceviane AM', BN' e CP' concorrono se e solo se vale la stessa relazione, sostituendo opportunamente i rapporti tra i segmenti.

Beh, è senz'altro giustissima

Puoi spiegarmi questa cosa della proiettività applicata a quattro punti? Oppure, dove posso informarmi al riguardo? Perchè sembra abbastanza potente...

Intanto posto la mia, che è un po' contosa (ma neanche troppo) ma abbastanza veloce da trovare.
Siano $ D'=AD\cap FE $, $ E'=FD\cap BE $, $ F'=CF\cap DE $. Siano inoltre $ A'=AM\cap BC $, $ B'=BN\cap AC $ $ C'=CP\cap AB $. Spero di non aver fatto casino, comunque dovrebbero essere A,D',D allineati, AMA' allineati e così gli altri.
Per Ceva su $ AD, BE, CF $ rispetto al triangolo $ ABC $ ho $ \displaystyle \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1 $.
Inoltre, per Ceva sulle stesse rette ma rispetto al triangolo $ DEF $ abbiamo $ \displaystyle \frac{FD'}{D'E}\cdot\frac{EF'}{F'D}\cdot\frac{DE'}{E'F} $
Per proiezione da A abbiamo
$ \displaystyle (D,A',B,C)=(D',M,F,E) \rightarrow \frac{DB}{DC}\cdot\frac{A'C}{A'B}=\frac{D'F}{D'E}\cdot\frac{ME}{MF} $.
Analogamente trovo (per proiezione da B e da C):
$ \displaystyle \frac{EC}{EA}\cdot\frac{B'A}{B'C}=\frac{E'D}{E'F}\cdot\frac{NF}{ND} $,
$ \displaystyle \frac{FA}{FB}\cdot\frac{C'B}{C'A}=\frac{F'E}{F'D}\cdot\frac{PD}{PE} $.

Moltiplicando le tre equazioni (e osservando che per i due Ceva di sopra sei frazioni se ne vanno) ottengo:
$ \displaystyle \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{A'C}{A'B}\cdot\frac{B'A}{B'C}\cdot\frac{C'B}{C'A}=\frac{D'F}{D'E}\cdot\frac{E'D}{E'F}\cdot\frac{F'E}{F'D}\cdot\frac{ME}{MF}\cdot\frac{NF}{ND}\cdot\frac{PD}{PE} $
$ \displaystyle \frac{A'C}{A'B}\cdot\frac{B'A}{B'C}\cdot\frac{C'B}{C'A}=\frac{ME}{MF}\cdot\frac{NF}{ND}\cdot\frac{PD}{PE} $
Quindi se un membro è uguale a 1 allora anche l'altro sarà uguale ad 1, quindi per il teorema di Ceva ho finito

nel membro di sinistra della relazione con ceva hai scritto $-1$ anzichè $1$.
Apparte questo, sapevo che si può fare un'affinità per mandare un triangolo in un equilatero.. una proiettività è per caso un'affinità particolare o non centra nulla?? =)

Per quel poco che ne so un'affinità è un caso particolare di una proiettività. Comunque sì, mi sono un po' informato e con una proiettività si possono mandare 4 punti a tre non allineati in 4 punti a scelta (di nuovo a tre a tre non allineati).

Per capire bene cos'è una proiettività vi consiglio di ritagliarvi un po' di tempo e vedervi le lezioni di Sam del Senior di qualche anno fa, perché in poche parole non si può definire molto bene. Comunque sì, se scegli 4 punti a 3 a 3 non allineati e altri 4 punti a 3 a 3 non allineati esiste ed è unica la proiettività che manda i primi 4 (in ordine) nei secondi 4. Le proiettività sono trasformazioni non sul piano euclideo ma su quello proiettivo, ovvero su quello in cui ad ogni retta aggiungiamo un punto imponendo che in tale punto intersechi le sue parallele (qui bisogna uscire dalla geometria intuitiva, sostanzialmente il nuovo punto è la proprietà di parallelismo reciproco tra le rette di un fascio improprio); questo punto è il punto all'infinito di quella retta. Ogni fascio improprio si interseca in un punto all'infinito, e l'insieme dei putni all'infinito forma la retta all'infinito. Un'affinità è una proiettività che mantiene fissi i punti della retta all'infinito (che è come dire che mantiene parallele le rette parallele).

Detto questo (ma non penso di essere stato molto chiaro) il nuovo problema è qui.

Anér posso chiederti quale video o anche di quale anno? perchè ce ne sono tanti Grazie

Ti consiglio di guardare le lezioni di Sam del Senior 2007 advanced, che sono quelle su cui ho imparato le prime cose di geometria proiettiva (intendo le prime cose che non ritenessi magiche).