OliForum Matematico

Come si svolge questa sommatoria?

$ \sum_{k=1}^{999} k(2k+1) $

(se potete indicate i vari passaggi)


(scusate ma ho cominciato ieri a studiarle). Sapete indicarmi un posto dove siano elencate le principali proprietà delle sommatorie per applicarle? Una cosa pratica e di facile utilizzo comunque, una specie di "formulario" per imparare più in fretta

Grazie mille in anticipo!

Ah scusate, per quella sommatoria in particolare credo di aver risolto così:

$ \sum_{k=1}^{999} k(2k+1) = \sum_{k=1}^{999} 2k^2+k = 2\sum_{k=1}^{999} k^2 + \sum_{k=1}^{999} k $

E da lì applico le formule per la somma degli interi e dei quadrati...va bene? Comunque sapete indicarmi un file con le più utili proprietà delle sommatorie in ambito olimpico?

@ Skz puoi lincarmi un file simile a quello ma con le identità delle produttorie?

Una cosa del genere come si può scrivere in sommatoria?
(9000-99)+(9000-99-98)+(9000-99-98-97)+(9000-99-98-97-96)+.....+(9000-99-97-96-95-94....-1) e così via.

Hawk ha scritto:@ Skz puoi lincarmi un file simile a quello ma con le identità delle produttorie?

Una cosa del genere come si può scrivere in sommatoria?
(9000-99)+(9000-99-98)+(9000-99-98-97)+(9000-99-98-97-96)+.....+(9000-99-97-96-95-94....-1) e così via.

$(9000-99)+(9000-99-98)+(9000-99-98-97)+(9000-99-98-97-96)+.....+(9000-99-97-96-95-94....-1)=$
$=9000*99 -99*99 -98*98 - 97*97.....-1 = $
$=9000*99 - \sum_{k=1}^{99} k^2=$
$=891000- (99)(100)(199)/6 = 562650$

Cioè?

Per un qualche motivo non mi leggeva il latex :O Ho editato

Grazie mille!

Spesso ho notato che sono tutte riconducibili a qualcosa tipo $\sum_{k=1}^n k$ o $\sum_{k=1}^n k^2$... quindi conviene maneggiare in tutti i modi possibili e cercare di finire in una di quelle prima di perdere tempo a cercare una formula diretta

che intendi per proprieta' delle produttorie?

Dato che sono argomenti che sto studiando, tra l'altro che non stanno sul mio libro di analisi, quello della Zanichelli, credevo che, oltre alle identità delle sommatorie, ci fosse qualcosa anche per le produttorie.

per c'e' solo la definizione del fattoriale $\prod_{i=1}^n i=n!$
e di questo l'Approssimazione di Stirling http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling $ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} $

Riesumo il post per fare una ulteriore domanda, cos'è una sommatoria ciclica, quando è utile utilizzarla e come si compone?

"Hawk, usa la funzione Cerca!"
"search.php?keywords=sommatoria+ciclica& ... bmit=Cerca"

Hawk ha scritto:Una cosa del genere come si può scrivere in sommatoria?
(9000-99)+(9000-99-98)+(9000-99-98-97)+(9000-99-98-97-96)+.....+(9000-99-97-96-95-94....-1) e così via.

Non ho capito se stai chiedendo quanto vale quella somma (come ha risposto LukasEta) oppure come si scrive utilizzando ammodino la notazione delle sommatorie senza "barare" con i puntini. Nel caso fosse quest'ultima, la risposta è
\[
\sum_{k=1}^{99} \left(9000-\sum_{i=k}^{99} i\right).
\]
(ah, immagino che nell'espressione che hai scritto manchi un 98 nell'ultima parentesi).