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Si può dimostrare che, scelti un numero primo $ p $ e due interi $ a $ e $ b $, $ p $ divide
$ \displaystyle \sum _{k=0}^{p-1} [{ p-1 \choose k } - (-1)^k]a^{p-1-k}b^k $
la domanda è: se $ a $ e $ b $ sono coprimi e non divisibili per $ p $, credete che $ p^2 $ possa in quache caso dividere la sommatoria di sopra? Io sospetto di no, e anzi ne sono certo per $ p=2,3,5. $
In realtà non ho nessuna base per credere che sia vero per tutti gli altri primi. Cosa ne pensate?

penso che sia da matematica non elementare
almeno non da ricreativa

Non dire così che poi me la credo Già sto imprisciato che sono riuscito in qualche modo a far venir fuori con il laTex il simbolo della sommatoria

kalu ha scritto:Si può dimostrare che, scelti un numero primo $ p $ e due interi $ a $ e $ b $, $ p $ divide
$ \displaystyle \sum _{k=0}^n [{ p-1 \choose k } - (-1)^k]a^{p-1-k}b^k $
la domanda è: se $ a $ e $ b $ sono coprimi e non divisibili per $ p $, credete che $ p^2 $ possa in quache caso dividere la sommatoria di sopra? Io sospetto di no, e anzi ne sono certo per $ p=2,3,5. $
In realtà non ho nessuna base per credere che sia vero per tutti gli altri primi. Cosa ne pensate?

penso che l'n sia un $p-1$, in tal caso
$$\sum _{k=0}^{p-1} [{ p-1 \choose k } - (-1)^k]a^{p-1-k}b^k =(a+b)^{p-1}-\sum _{k=0}^{p-1} (-1)^ka^{p-1-k}b^k$$

Certamente. Oppure lo puoi anche scrivere come

$ \displaystyle \frac {(a+b)^p-a^p-b^p} {a+b} $

a patto che $ p $ sia diverso da 2

SkZ ha scritto:penso che l'n sia un p−1

Si, infatti Edito subito