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Dividere un cerchio dato in 9 parti di uguale area non obbligatoriamente sovrapponibili con l'uso di riga e compasso.

Se il cerchio dato è di raggio $ r $, traccio un cerchio di raggio $ \frac{r}{3} $ concentrico a quello dato.
(vd viewtopic.php?p=112843#p112843 per dividere un segmento in 3 parti uguali)
Il cerchio appena disegnato è di area $ \pi(\frac{r}{3})^2=\frac{\pi}{9}r^2 $, cioè un nono di quella del cerchio dato.
A questo punto costruisco l'ottagono regolare inscritto alla circonferenza data e collego ogni vertice al centro,
dividendo così l'"anello" in 8 parti uguali, ognuna delle quali di area $ \frac{1}{8}(\pi r^2-\frac{\pi}{9} r^2)=\frac{\pi}{9}r^2 $,
cioè di area uguale a quella del cerchio costruito prima

Uhm...
Sia $R$ il raggio del cerchio $\gamma$ di area unitaria e $O$ il suo centro.

1) Costruisco all'interno del cerchio di raggio $R$ un nuovo cerchio concentrico di raggio $r=R/3$. Per fare questo traccio un raggio qualunque $OP$, e lo triseco.
(per trisecarlo traccio una retta $s$ qualunque passante per $O$ ma non coincidente con il raggio tracciato, apro il compasso a piacere puntandolo sul centro,segno l'intersezione $I_1$ con $s$, punto sull'intersezione e segno la nuova intersezione $I_2$...tracciata la terza intersezione $I_3$ con $s$,traccio la retta $IP$ e traccio le altre 2 rette parallele passanti per $I_2$ e $I_1$. L'intersezione della retta passante per $I_1$ con il raggio $OP$ la chiamerò $Q$. )
Apro il compasso di $OQ$ e traccio il cerchio $\gamma _1$ concentrico a quello iniziale, che avrà quindi area pari a $1/9$.

2)Prolungo il raggio $OP$ dall'altra parte per ottenere un diametro $PR$.
3) Traccio il diametro $MN$ perpendicolare ad $OP$(per farlo uso il metodo "riga e compasso" per le rette perpendicolari).
4) Traccio il segmento $MO$ e lo biseco (Punto medio $M_1$). Traccio il segmento $MP$ e lo biseco (punto medio $M_2$).
5) traccio le rette $M_1O$ e $M_2O$.
6) Cancello tutti i punti $G_i$ interni a $\gamma_1$ tali che $G_i<r$

PS: anticipato

E' corretta. Vi propongo anche quella che mi sono inventato che è completamente diversa:

Step 1: Costruisco la stella di davide Inscritta nel cerchio di raggio $ r $.

Punto il compasso sulla circonferenza con raggio $ r $. Poi lo punto sulle intersezioni che ottengo e reiterando il processo ottengo un esagono regolare. Ora unisco tutte le diagonali e ottengo la stella di davide (più qualche altra diagonale che utilizzarò alla fine).

Step 2: La stella ha 12 angoli, considero i 6 angoli concavi ( quelli rivolti verso il centro per intendersi) e punto nel centro con apertura che non so quanto vale ma che va dal centro ai 6 angoli in questione e disegno la circonferenza.

Step 3: Calcoli

Vediamo di trovare quanto vale il raggio della circonferenza appena disegnata: notiamo che la stella può facilemtne essere suddivisa in 12 triangoli equilateri di altezza $ \displaystyle\frac{r}{2} $. E il raggio che stiamo cercando è proprio il lato di questi triangoli equilateri e varrà quindi $ r_2 = \displaystyle \frac {\sqrt {3} }{3} r $. L'area di questo cerchio più piccolo varrà quindi $ \displaystyle \frac {\pi}{3} $ .Ora le diagonali che non ho usato in precedenza prese da sole mi dividono il settore circolare in 6 parti uguali e la circonferenza centrale in 3 parti uguali che per differenza valgono tutte $ \displaystyle \frac {\pi}{9} $

ah, non l'ho specificato, ma nella mia 1° soluzione bisogna saper trovare il centro del cerchio (che è banale) e saper costruire un ottagono regolare (cosa che penso tutti -almeno a me è toccato farlo- abbiano fatto alle medie)

altra soluzionaccia...
detto $ x=\frac{r}{3} $, costruisco 8 circonferenze di raggi $ x,\sqrt2x,\sqrt3x,2x,...,2\sqrt2 x $*, oltre a quella di raggio $ 3x=3 $, concentriche a quella data
ciascuno degli 8 "anelli" ha area $ \pi (\sqrt{n+1}x)^2-\pi (\sqrt{n}x)^2=\pi x^2 [(n+1)-n]=\pi x^2=\frac{\pi}{9} r^2 $, così come il cerchio più piccolo

*per trovarsi un segmento di lunghezza $ \sqrt2x $ disegno da qualche parte un triangolo rettangolo isoscele di cateto $ x $ (basta tracciare 2 rette perpendicolari e intersecarle con una circonferenza di raggio $ x $ centrata nel punto dove queste 2 si incontrano) e l'ipotenusa sarà di lunghezza $ \sqrt2x $
per avere $ \sqrt3x $, traccio nel disegno appena fatto un segmento di lunghezza $ x $ perpendicolare all'ipotenusa precedente, ottenendo un triangolo rettangolo di cateti $ x $ e $ \sqrt2x $ e di ipotenusa $ \sqrt3x $
ripeto la cosa fino ad avere un triangolo di ipotenusa $ 2\sqrt2x $

ditemi se c'è qualcosa che non torna

purtroppo alle medie mi avevano spiegato solo come tracciare UNA perpendicolare a una retta/segmento, non quella perpendicolare passante per un punto
per sistemare la faccenda ho pensato che se ho un segmento AB lungo a e voglio tracciare la perpendicolare passante per A devo puntare in B con apertura 2a, poi nel simmetrico di B rispetto ad A, sempre con apertura 2a, e quindi unire i 2 punti di intersezione
ditemi se è/non è corretto

dovresti specificare come fai ad aprire il compasso con apertura 2a?

beh, traccio una cironferenza con apertura a e poi prendo un diametro qualsiasi (un qualsiasi segmento passante per il centro)

Sì certo è semplice ma credo comunque vada sempre detto. Il resto mi sembra andare.