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Sia ABC un triangolo e D il punto medio di BC. Preso un punto E su AD, sia M la sua proiezione su BC. Siano, poi, P e N le proiezioni di M su AC e AB.
Mostrare che la bisettrice di PMN è parallela a quella di PEN.

Vale anche il viceversa, ovvero, ripetendo tutta la costruzione con una ceviana a caso, è vero che se le bisettrici sono parallele, allora quella è una mediana?

Geogebra mi ha trovato una soluzione niente male del se e solo se

Fatto 1: sia M' l'intersezione della bisettrice di NMP con EN e analogamente definisco E'. Voglio dimostrare che $ \angle MNE =\angle EPM \iff $ le bisettrici sono parallele.
Se le bisettrici sono parallele $ \angle MNE=180°-\angle NM'M-\angle NMM'= 180°-\angle EE'P -\angle E'EP= \angle EPM $.
Viceversa, se $ \angle MNE = \angle EPM $ allora $ 2\angle EPM + \angle NMP+\angle NEP=360° \rightarrow \angle EE'P=180°-\frac{1}{2}\angle NEP -\angle EPM=\frac{1}{2}\angle NMP $ e quindi le bisettrici sono parallele.

Fatto 2: traccio la parallela a BC per E che interseca AB e AC in B' e C'. Allora B'EMN e EC'PM sono ciclici (questo anche per E non sulla mediana). Allora $ \angle MB'E= \angle MNE $ e $ \angle EC'M =\angle EPM $.

Fatto 3: B'C'M è isoscele sse E sta sulla mediana. Infatti E è sempre piede dell'altezza da M ma è anche punto medio sse è sulla mediana (serve B'E=E'C').

Quindi, per i tre fatti di sopra:
$ E \in AD \iff B'E=EC' \iff \angle MB'E=\angle MC'E \iff \angle MNE =\angle MPE \iff $ bisettrici parallele.

Va bene, fondamentalmente quasi uguale alla mia. Nell'ultimo rigo ci dovrebbe essere un typo $ \angle MNE = \angle MPE $, ti sei saltato la parte destra Ho visto anche che la stessa idea dava buoni risultati sul fatto noto sulla mediana, cosa che non mi era passata per la testa xD
Vai pure col prossimo