Contestare una prof .-.

[LukasEta]

Oggi in classe, interrogato alla lavagna, mi viene chiesto dalla mia prof di studiare una funzione esponenziale.
Arrivato al momento del "limite per x che tende a meno infinito", mi trovo questo tra le mani.

$\lim_{x \to -\infty} \frac {e^x}{x-1}$

Al che asserisco subito che il limite vale 0, dicendo che "basta sostituire". Lei , in tono di sfida mi fa: "Ah bè sei così bravo che lo fai a mente...visto che vuoi sostituire, prova effettivamente a farlo e vediamo cosa esce fuori.

Sostituisco, e mi trovo la mani un bel "$\frac {0}{-\infty}$", al che di nuovo asserisco che effettivamente fa 0. Con un ghigno mi fa "Bè, forse oltre a fare i giochini di matematica dovresti studiarla la matematica...quella è una forma di indecisione, che va eliminata". "A me ad essere sincero non sembra una forma di indecisione prof.." e scrivo $\frac{0}{-\infty}=\frac{1}{-\infty \cdot \infty}=0$

Non ottengo risposta, la prof si alza e "risolve" lei il limite moltiplicando sopra e sotto per $e^{-x}$ e ottenendo ancora 0. Poi continua "Ora posso accettare che questo potesse non venirti in mente (???), però almeno potevi far vedere che sai usare De l'Hopital....qui era facilissimo da applicare."

Non ho risposto, ho annuito con aria scettica (anche perchè De l'Hopital si può applicare solo nelle VERE forme di indecisione $\frac {\infty}{\infty}, \frac {0}{0}$, giusto?), e sono andato a posto con un "8 per non abbassarmi la media". Posso almeno farle notare domani che quella NON ERA una forma di indecisione , e che tra l'altro De l'Hopital non era applicabile?? Per soddisfazione personale...Datemi voi l'ok perchè voglio evitare figure da saputello che si inventa le cose, e soprattutto vorrei avere argomentazioni valide ma non alla sua portata (Vi assicuro che è facile trovare cose non alla sua portata...)

[SkZ]

si e' confusa con $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$
cmq e' vero che non puoi "sostituire", dato che alle sup si lavora in $\mathbb{R}$ e $\pm\infty\notin\mathbb{R}$
banalmente sotto si vede che $x-1$ e' asintotico a $x$ e ergo hai $e^x\cdot \frac1x$ e hai il prodotto di 2 funzioni con limite finito ergo puoi moltiplicare i 2 limiti.
di certo una forma indefinita non si risolve moltiplicando sopra e sotto

se vuoi parlargliene non farlo difronte alla classe che sembrerebbe che la vuoi sminuire.
cmq non mi torna che l'hopital funzioni con forme non indeterminate. di certo con alcuni esempi si dimostra che sbaglia i segni (vedi $\frac1{x^2}=\dfrac{\frac1x}{x}$)
e nemmno risulta qui http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2657

[staffo]

L'Hopital non funziona su forme determinate come questa, se funziona è solo per pura coincidenza.
Se fossi stato in te avrei fatto valere le mie ragioni finchè non capiva, oltretutto non c'è da "sostituire", ma semplicemente da dire $0$, cosa che avevi fatto benissimo (potevi dirgli anche $0^{-}$).

[patatone]

io l'avrei smerdata subito se avesse fatto una roba del genere, quindi mettila pure in imbarazzo davanti alla classe

[fph]

1) L'Hopital funziona anche se una sola delle due funzioni tende a $\infty$, quindi è applicabile anche in quel caso. Per avere un riferimento per questo enunciato più forte del solito vedi per esempio Rudin, Analisi, capitolo 5.
2) confermo che quella non è una forma indeterminata, secondo la definizione solita (ma libri e insegnanti dei licei a volte si inventano definizioni buffe e ci tengono particolarmente), e effettivamente basta "sostituire" o insomma applicare le solite regole base, senza dover ricorrere ai cannoni.
3) ti suggerirei in ogni caso di lasciar perdere, tanto il voto non cambia e litigare non ha senso. Piuttosto rifletti su questo fatto: saresti in grado di trovare una dimostrazione completa e inoppugnabile che quel limite fa zero, senza ricorrere a concetti fumosi come "sostituire $\infty$", e dimostrando tutto quello che usi se qualcuno dice "non ci credo"? È uno dei modi di verificare se uno ha capito fino in fondo i limiti... Hint (da guardare solo dopo averci pensato):

Testo nascosto:

Per esempio puoi dimostrare che $e^x \to 0$, $\frac1{x-1}\to 0$ e moltiplicare --- questa dimostrazione si trasforma facilmente in disuguaglianze esplicite.

[SkZ]

io l'avrei smerdata subito se avesse fatto una roba del genere, quindi mettila pure in imbarazzo davanti alla classe

e cessi di vivere
devi essere molto bravo per farlo o prepararti ad una guerra di carte bollate
ed ad un esame di maturita' infernale

[staffo]

1) L'Hopital funziona anche se una sola delle due funzioni tende a $\infty$, quindi è applicabile anche in quel caso. Per avere un riferimento per questo enunciato più forte del solito vedi per esempio Rudin, Analisi, capitolo 5.

Davvero? questa non la sapevo... Quindi nel caso avessi una funzione che tende a infinito e un'altra che non so a cosa tende, potrei sciogliermi un po' le cose applicando tranquillamente l'Hopital? (ma sul mio libro mi pare ci sia scritto l'Hospital )

[SkZ]

De l'Hôpital è chiamato indistintamente "l'Hospital" e "l'Hôpital". Il marchese era solito usare la forma con la 's'; comunque la lingua francese ha eliminato questa lettera (che è muta in tale lingua) e ha aggiunto un accento circonflesso alla vocale precedente.

[staffo]

Ho guardato sul libro di analisi di Rudin, ma volevo chiedere una cosa: ma per il caso di non indecisione detto da fph, deve valere per forza che sia il denominatore e non il numeratore a divergere? perchè qui sembra dica così...

[SkZ]

generalmente il limite dell'inverso e' l'inverso del limite se questi non e' 0 (es: $\frac{\sin{x}}{x}$ e $\frac{x}{\sin{x}}$ per x che tende a $\infty$) dato che l'inverso non e' definito in 0 ed e' una discontinuita' di secondo grado e funzione dispari

[patatone]

io l'avrei smerdata subito se avesse fatto una roba del genere, quindi mettila pure in imbarazzo davanti alla classe

e cessi di vivere
devi essere molto bravo per farlo o prepararti ad una guerra di carte bollate
ed ad un esame di maturita' infernale

vabbè, io preferisco la faida alla sottomissione. Chinare la testa non è un'opzione!
E sul fatto di essere molto bravo direi che se è andata veramente cosi chiunque rispetto a questa prof è molto bravo

[SkZ]

patatone, non e' sottomissione. Ma bisogna vedere se la prof si e' confusa lei. Non e' facile capire che si ha sbagliato e amemttere davanti alla classe. La cosa migliore e' parlarle in parte.
Deriderla difronte alla classe puo' causarti anche una sospensione, anche se hai ragione nell'obiezione, perche' hai sbagliato nei mezzi.
fph non ha detto una cosa tanto per dirla: tu saresti capace di dimostrare matematicamente che quello e' il limite? Reagire dopo e' solo ammettere che in verita' non eri certo delle tue affermazioni e sapevi sostenerle.
io ho avuto una contestazione col mio prof perche' non scrivevo i passaggi delle divisioni tra polinomi e monomi semplici perche' le facevo a mente e lui diceva che se non le scrivevo allora non le avevo fatte. Mi diede allora da fare alla lavagna un divisione da fare inventata a caso e iniziai a farla a mente e dopo 2 passaggi mi accorsi che avevo fatto un errore e lui disse che non potevo ricominciare ma casomai fare un'altra ancora piu' bastarda. ergo mi arresi e andai al posto. (dove la feci tutta totalmente a mente )
Pero' aveva ragione lui, anche se ci siamo scontrati per i caratteri: lui doveva verificare che io sapessi fare le cose e se io non scrivendo i passaggi gli impedivo di poterlo verificare. Lui sapeva benissimo che ero bravo e sapevo farle a mente (in quinta nel secondo semestre non mi fece recuperare i compiti scritti persi con le gare e in pratica mi ha messo il voto sulla fiducia), ma il compito andava fatto in una certa maniera anche se a me scocciava scrivere.

[staffo]

OT: comunque anche in discorsi da birreria si riesce ad imparare qualcosa di matematica su questo forum

[fph]

Ho guardato sul libro di analisi di Rudin, ma volevo chiedere una cosa: ma per il caso di non indecisione detto da fph, deve valere per forza che sia il denominatore e non il numeratore a divergere? perchè qui sembra dica così...

Hmm good point. Mi sembra di ricordare che valga anche per $f(x)\to\infty$, ma è passata tanta birra sotto i ponti da quando ho fatto analisi I. Quando ho scritto quel messaggio ho controllato sul Rudin e ho pensato "ma sì, nell'altro caso si potrà invertire" come sta dicendo ora SkZ, ma ora che mi ci fai riflettere il problema non è perfettamente simmetrico (perché l'ipotesi $g(x)\neq 0$ ti serve solo per il denominatore), quindi ti direi che ci devo pensare un attimo.
(in ogni caso nel problema originale che ha posto LukasEta è il denominatore che diverge)