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Dimostrare che, dato un polinomio $p(x) = x^2+ax+b$ a coefficenti interi, esiste un polinomio a coefficenti interi $q(x) = 2x^2+cx+d$ tale che $p(m) \neq q(n)$ per ogni coppia di interi $(m,n)$

EDIT: Ecco, altra volta che leggo male il testo, scusatemi, pensavo per valori uguali....

Beh, basta scegliere $a, b$ dispari e $c, d$ pari, in questo modo $p(x)$ assume sempre valori dispari per $x \in \mathbb N$ come si vede facilmente controllando se $x$ è pari o dispari, mentre $q(x)$ assume solo valori pari (per lo stesso motivo, sempre con $x \in \mathbb N$).
In questo modo, si è certi che $p(m) \neq q(n)$ per ogni coppia $(m, n)$ di interi.

va che $ p $ è dato, quindi $ a $ e $ b $ non li scegli...

staffo ha scritto:va che $ p $ è dato, quindi $ a $ e $ b $ non li scegli...

sembrava troppo facile..
come non detto, torno a pensarci XD

Se $ c=a $ e $ d>b $? Così funziona anche per i reali, ma mi sa che ho capito male il problema

Strangeloop ha scritto:Se $ c=a $ e $ d>b $? Così funziona anche per i reali, ma mi sa che ho capito male il problema

mmm non capisco perchè dovrebbe funzionare?

No non funziona, avevo letto male

Se $a$ è dispari $p(x) \equiv b \mod 2$ quindi prendo $c$ pari e $d \not \equiv b\mod 2$ quindi uno è pari e l'altro dispari.
Altrimenti abbiamo $p(x)=x^2+2ax+b=(x+a)^2-a^2+b$ allora prendo $c=4a$ e $d=2a^2+k$ da cui uguagliando $p(x)=q(x)$ ottengo $(x+a)^2=-k-a^2+b$ basta porre $-k-a^2+b<0$ e ho finito. Quindi $k=b-a^2$ da cui $d=a^2+b$

ma scusa una cosa, ma quando uguagli $p(x)$ a $q(x)$, implicitamente stai considerando $x$ uguali, o sbaglio?
non dovresti uguagliare $p(n)$ a $q(m)$ e dimostrare che è valida per ogni coppia $m,n$?

paga92aren ha scritto:Se $a$ è dispari $p(x) \equiv b \mod 2$ quindi prendo $c$ pari e $d \not \equiv b\mod 2$ quindi uno è pari e l'altro dispari.
Altrimenti abbiamo $p(x)=x^2+2ax+b=(x+a)^2-a^2+b$ allora prendo $c=4a$ e $d=2a^2+k$ da cui uguagliando $p(x)=q(x)$ ottengo $(x+a)^2=-k-a^2+b$ basta porre $-k-a^2+b<0$ e ho finito. Quindi $k=b-a^2$ da cui $d=a^2+b$

Staffo ha ragione, però l'idea di fondo è quella (mi riferisco alla primissima parte)... fuochino (molto molto ino)

Se $a$ è dispari $p(x) \equiv b \mod 2$ quindi prendo $c$ pari e $d \not \equiv b\mod 2$ quindi uno è pari e l'altro dispari.
Altrimenti abbiamo $p(x)=x^2+2ax+b=(x+a)^2-a^2+b$, pongo $p(x)=q(y)$ e sostituisco $d+a^2-b=k$ e ottengo $(x+a)^2=2y^2+cy+k$.
Sapendo che ogni quadrato è congruo a 0 o 1 modulo 4 scelgo $c=2$ e $k=-1$ in modo tale che la seconda parte sia congrua a 3 mod 4, da ciò l'assurdo. Quindi i polinomi con $c=2$ e $d=b-a^2-1$ non sono mai uguali.