Tento, anche se so che la mia dimostrazione non è proprio formale...
a) E' impossibile che gli studenti abbiano tutti lo stesso voto all'orale o allo scritto, dato che i voti sono 10 e gli studenti 20; perciò per il teorema "dei cassetti" dei voti si devono ripetere.
Stesso ragionamento su voti uguali fino a 11 compreso (applico sempre i cassetti).
1° caso: ci sono 10 studenti con voto $n$; diciamo che sia allo scritto.
Ognuno dovrà avere un voto diverso all'orale, per ipotesi; così si possono sempre mettere in scala.
2° caso: ci sono $2<x<10$ studenti con voto $n$, diciamo lo scritto.
Ognuno di quei 3,4...9 studenti ha un voto diverso dagli altri 2,3...8 (altrimenti si andrebbe contro l'ipotesi); perciò possiamo ordinarli secondo i voti dell'orale.
3° caso: 1 solo studente con voto $n$ allo scritto.
Rimangono 9 voti da distribuire a 19 studenti: 3 di essi avranno lo stesso voto, e si mettono in ordine quelli
4° caso: 10 coppie di studenti con voto $n$ allo scritto.
Posso intanto ordinarne 2; essi però devono avere l'orale diverso.
Ma all'orale almeno due voti si ripetono; perciò posso sempre prendere: una coppia con $n$ allo scritto, di cui uno ha $x$ e l'altro $y$ all'orale; e uno il cui orale è uguale a $x$ o $y$, con uno scritto che posso confrontare con la coppia di partenza.
Per la b) io rispondo no, ma per la dimostrazione mi ci vuo,e un altro po' di tempo...
Comunque la a) è giusta???
