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In una citta ci sono 4 Pub, A B C e D tutti collegati tra loro tranne A e D. Un ubriacone cominciando da A gira casualmnete (tutte le direzioni consentite sono equiprobabili) i Pub fermandosi ad ogni Pub da cui passa facendo una bevuta ogni volta.

a) qual'è la probabilità che l'ubriacono faccia la sua quinta bevuta in C ?
b) Dove sarà più probabilmnete l'ubriacone alla sua $ n $-esima bevuta?

Boh dai, sperimento una tecnica per me quasi nuova...

Da A e da D partono due strade, da B e da C ne partono tre. Noto che da un pub da cui partono due strade si arriva a due pub con cui partono tre strade, e se parto da un pub da cui partono tre strade posso andare o in due pub diversi da cui partono due strade o in un pub da cui partono tre strade. Noto poi che all'n-esima bevuta la probabilità di essere in A è pari alla probabilità di essere in D e la probabilità di essere in B è pari alla probabilità di essere in C per la simmetria stessa della configurazione. Detto quindi $C_{n,3}$ il numero di tutti i casi possibili per cui all'n-esima bevuta si è ad un pub da cui partono tre strade e $C_{n,2}$il numero di tutti i casi possibili per cui all'n-esima bevuta si è ad un pub da cui partono due strade, si nota subito che
$C_{3,n} =2C_{2,n-1}+C_{3,n-1}$ e $C_{2,n} = 2C_{3,n-1}$. (già ora facendo il grafico ad albero noto che per $n=5$ è più probabile che il bevitore si trovi in un pub da cui partono tre strade, provo a dimostrarlo nel modo più formale possibile). Ponendo per comodità $C_{3,n}=x_n$ si nota subito che $x_{n+1} = x_n+4x_{n-1}$. Il polinomio caratteristico di questa successione è $x^2-x-4=0$ che ci fa arrivare a dire che $\displaystyle x_n = a\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} + b\left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n}$ per una qualche coppia di $a,b$ che, imponendo che per $n=0$ e $n=1$ si ottengano come risultati $x_0 = 0$ e $x_1 = 2$, si rivela essere $\displaystyle (a,b) = \left( \frac{2}{\sqrt{17}},-\frac{2}{\sqrt{17}}\right)$. Si è ottenuto insomma che
$\displaystyle x_n = \frac{2}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} \right)$
$\displaystyle C_{2,n}=y_n =\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} \right)$
E quindi
$\displaystyle \frac{x_n}{y_n} = \frac{\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n}}{2\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} \right)}\geq \frac{\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} - \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n}}{2\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} - \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} } = \frac{\sqrt{17}}{2} \geq 1$ che dimostra che all'n-esima bevuta si è sempre con maggiore probabilità nei pub B o C.

Bon, la soluzione è lunga, schifosa e leggermente contosa, mi sa che mi sono complicato moltissimo la vita e mi sa anche che mi sono perso qualcosa di stupido dietro.

Ho fatto il grafo ad albero su excel (così ho tanto spazio) e mi viene che la probabilità di essere in C è di ${29 \over 94}$
Dato che c'era la tabella, ho contato le altre probabilità: $A = {18 \over 94}$ $B = {29 \over 94}$ $D = {18 \over 94}$

Se facessi un grafo ad albero in gara in questa situazione, quanti punti sarebbero?? (sempre se ci sta sul foglio... )

Beh, certamente ti darebbero tutto i punti che si danno a chiunque risolva correttamente il punto 1. Oltretutto ora che ci ritorno mi pare che basti una induzione da lì ( un qualcosa che parta con: ecco dimostrato quindi che per N=5 si ha che P(di essere in a)= P(di essere in D) < P(essere in C)= P(di essere in B). Supponiamo che sia vero per n....) e si finisce anche se è solo una impressione così, di sfuggita Provaci se vuoi, non ti prometto niente

MI sembra tornare tutto... anche se mi sembra strano che la probabilità di trovarsi in C o in B sia più del doppio di quella di trovarsi in A o D..

amatrix92 ha scritto:MI sembra tornare tutto... anche se mi sembra strano che la probabilità di trovarsi in C o in B sia più del doppio di quella di trovarsi in A o D..

Guarda che 29 non è più del doppio di 18...

si vabè io dico per n.. cioè ho riguardato il procediamento e fila tutto.. diciamo che è curioso come risultato

Bonus: Quando vale $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \ p(C)+p(B) $

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} p(C)+p(B) = \frac{C_{3,n}}{C_{n,3}+C_{n,2}} = \frac{1}{1+\frac{C_{n,2}}{C_{n,3}}}$
ma siccome si ha che
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{C_{n,2}}{C_{n,3}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n-1} \right)}{ \frac{2}{\sqrt{17}}\left(\left( \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} - \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2} \right) ^{n} \right)} = 2$ si ha che la probabilità di essere in $B$ o in $C$ con l'aumentare delle bevute tende a $\frac{1}{3}$ e la probabilità di trovarsi in $A$ o in $D$ con l'aumentare delle bevute tende a $\frac{2}{3}$

Qualcuno ha una soluzione meno contosa?

Io dal lavoro di Mist sono arrivato a $\displaystyle{P(3,n)=\frac{x_{n-1}+4x_{n-2}}{3x_{n-1}+4x_{n-2}}}$ , con cui si arriva al risultato ma solo grazie a WolframAlpha...

mhm...

Facciamo che ti fai i casi fino alla terza bevuta a mano e noti che la probabilità che alla terza bevuta l'alcolizzato sia in $B$ o in $C$ è maggiore rispetto a quella che sia in $A$ o in $D$...
Definisco:
$P_k(BC) = \mbox{Probabilità che alla k-esima bevuta l'alcolizzato sia in B o C} $,
$P_k(AD) = \mbox{Probabilità che alla k-esima bevuta l'alcolizzato sia in A o D} $
Ipotesi induttiva: $3P_k(AD) >P_k(BC) >P_k(AD)$, Si verifica essere per $k=2,3$ vera
Passo induttivo: Per $k+1$ si nota subito che
$P_{k+1}(BC) =P_k(AD)+ \frac{1}{3}P_k(BC)$ e $P_{k+1}(AD) =\frac{2}{3}P_k(BC)$
Ma per l'ipotesi induttiva si ha che $3P_k(AD) >P_k(BC)$, ovvero $P_k(AD) >\frac{1}{3}P_k(BC)$, ovvero $P_{k}(AD)+\frac{1}{3}P_k(BC)>\frac{2}{3}P_k(BC)$ e perciò
$P_{k+1}(BC) =P_k(AD)+ \frac{1}{3}P_k(BC)>\frac{2}{3}P_k(BC)=P_{k+1}(AD)$

meno contosa di così non ci riesco, va meglio ?

Molto bella!
Per il punto a) basta prendere $x_{n+1}=x_n+4x_{n-1}$ e la formula per la probabilità di essere in B o C ed è fatta.

una domanda: l'ubriacone effettua la sua prima bevuta in A? se così fosse(come parrebbe dal testo) il risultato di drago96 è sbagliato. quello giusto dovrebbe essere $ \displaystyle \frac{9}{38} $

editato dopo il messaggio successivo

fraboz ha scritto:una domanda: l'ubriacone effettua la sua prima bevuta in A? se così fosse(come parrebbe dal testo) il risultato di drago96 è sbagliato. quello giusto dovrebbe essere $ \displaystyle \frac{14}{38} $

Potrebbe anche essere che si consideri A come prima bevuta...

Comunque la probabilità in questo caso mi viene $ \displaystyle \frac{9}{38} $
Chiedo conferma, anche se ne sono abbastanza sicuro dato che con lo stesso metodo ho calcolato l'altra probabilità...

si scusa è $ 9/38 $..