OliForum Matematico

Un tiangolo acuto $ ABC $ è inscritto in una circonferenza di centro $ O $. La bisettrice di $ \angle A $ incontra $ BC $ in $ D $ e la perpendicolare ad $ AO $ passante per $ D $ incontra $ AC $ ( o il prolungamento) in $ P $.
Si provi che $ AB=AP $.

Per dimostrare che $ AB = AP $ basta dimostrare che i triangoli ABD e ADP sono uguali. Per fare questo usiamo il secondo criterio di uguaglianza dato che $ \angle BAD $ e $ \angle DAP $ sono uguali per costruzione e il lato AD e' in comune ai due triangoli. Ci resta da dimostrare quindi che $ \angle BDA = \angle ADP $.
Con angle chasing otteniamo che $ \angle BDA = 180 - \angle ABD - \angle BAD $. Inoltre abbiamo che $ \angle AOB = 2 \angle ACB $ perche' angoli al centro e alla circonferenza dell'arco AB. Inoltre abbiamo $ \angle ACB = 180 - \angle ABD - 2 \angle BAD $. Sfruttando la relazione degli angoli al centro e alla circonferenza, tenendo conto che il triangolo AOB e' isoscele sulla base AB e sapendo che $ \angle BAO = \angle BAD + \angle OAD $ otteniamo che $ \angle OAD = \angle ABD + \angle BAD - 90 $. Abbiamo per costruzione che $ \angle ADP = 90 - \angle OAD = 180 - \angle ABD - \angle BAD $. Quindi $ \angle BDA = \angle ADP $.

Sì mi sembra andare, Bravo !