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Trovare tutti gli interi positivi $ x, y $ tali che $ x^2 + 615 = 2^y $

Speriamo che vada bene...

Riscrivo come $5 \cdot 3 \cdot 41=2^y-x^2$
Se y è dispari allora $2^y \equiv -1 \pmod 3 \implies 2^y-x^2\equiv -1-(-1) \pmod 3 \implies x^2 \equiv -1 \pmod 3$ assurdo....
Se y è pari allora $5 \cdot 3 \cdot 41=(2^z-x)(2^z+x)$ dove $y=2z$ .Allora posso impostare tre sistemi
1)$15=2^z-x $ e $41=2^z+x$ che non ha soluzioni intere
2)$205=2^z+x$ e $3=2^z+x$ che non ha soluzioni intere
3)$123=2^z+x$ e $5=2^z-x$ la cui coppia di soluzioni $(z,x)=(6,59) \implies (x,y)=(59,12)$ che è l'unica soluzione....

per completezza:
4) $2^z-x=1$ e $2^z+x=615$ che non ha soluzioni intere

Va bene, forse per completezza all'inizio dovevi dirlo perchè se y è dispari $ 2^y \equiv -1 (3) $.

paga92aren ha scritto:per completezza:
4) $2^z-x=1$ e $2^z+x=615$ che non ha soluzioni intere

Scusa, l'ho dimenticato.....in genere lo ricordo quando il numero è un primo.Comunque, finalmente ho risolto un problema di cesenatico decentemente

P.S. comunque in bocca al lupo per domani