OliForum Matematico

Quando dici che non hai soluzioni è sottinteso modulo 10, giusto?
Presumo di sì quindi vado avanti: per dire che non ci sono soluzioni fai la radice quadrata e imponi che $n$ sia naturale.
Ragionando modulo 10 si ha che $5\equiv 25 \mod 10$ da cui la soluzione $n\equiv 5 \mod 10$. Ricordati che quando usi il modulo sei in $\mathbb{Z_n}$ che è un'anello quindi non sempre esiste l'inverso della moltiplicazione e la radice quadrata spesso non è unica!!!

Hai ragione...
ho ancora molto da imparare...

Devo provare un'altra strada allora..

Prendendo spunto (molto spunto...) dalla soluzione dell'esercizio 5 di cese 2011,provo a farlo allo stesso modo.
Ripartiamo dal fatto che $n$ è dispari, allora lo chiamo $2k+1$(seguendo il consiglio di drago96 ).
Da qui arrivo a $a^3=k^2+k-1$, quindi $(a+1)(a^2-a+1)=k(k+1)$, e da qui distinguiamo 2 casi:
1° caso $k|(a+1)$
Avremo che $a+1=mk$ per $m$ intero positivo,e $m(a^2-a+1)=k+1$.
Ricavo $k$ dalla prima e lo metto nella seconda, arriverò a $m^2a^2-am^2+m^2-a-m-1=0$ e pongo ora il delta uguale ad un quadrato perfetto.
Ora non scrivo la dimostrazione,anche perchè è un po' arzigogolata,ma mi viene che gli unici valori possibili di $m$ sono $0$ e $1$.
Da qui ricavo $a$ che può essere $1$ o $-2$.
2°caso $k|a^2-a+1$
Avremo che $a^2-a+1=mk$ per $m$ intero positivo, e $m(a+1)=k+1$. Anche qui ricavo $k$ dalla seconda e lo metto nella prima, arriverò a $a^2-a-am^2-m^2+m+1=0$, anche qui non scrivo la dimostrazione, ma mi viene che l'unico valore possibile di $m$ è $-3$, ricavando di nuovo $a$ stavolta viene uguale a $-1$ oppure $11$.
Avendo trovato tutti i possibili valori di $a$ torniamo a prima: $a^3=k^2+k-1$.
Sosti tuendo ad $a$ i suoi valori vediamo che i valori accettabili di $k$ sono:$(0,-1,1,-2,-36,37)$, di conseguenza i valori di $n$ sono:$(1,-1,3,-3,73,-73)$.
Da qui abbiamo tutte le soluzioni...
$(a,n)=(-1,1),(-1,-1),(1,3),(1,-3),(11,73),(11,-73)$.
La mia speranza è sempre quella... di averci azzeccato

Mi sembra ti manchi il caso in cui k non divide nessuno dei due fattori ma (ovviamente) divide il prodotto (ad esempio $ 6\mid 4\cdot 9 $ ma 6 non divide nè 4 nè 9).

Non vorrei demotivarvi, ma ho chiesto in giro e nessuno è riuscito a trovare una dimostrazione elementare di ciò. Il massimo che ho ottenuto è sapere che le soluzioni sono in numero finito.

Lo sospettavo,comunque come avete già notato(mi pare) l'avevo tirato fuori dal cesenatico n°5 di quest'anno.

trugruo ha scritto:Trovare tutti gli interi positivi $a$ tali che $4a^3+5$ sia un quadrato perfetto.

Soluzione. L'equazione da risolvere è $4a^3+5=b^2$; si vede facilmente che $b$ è dispari. Se è dunque $b:=2c+1$ l'equazione diventa $c^2+c=a^3+1$, che sotto il cambio di variabile $ c:=d-\dfrac 1 2 $ si trasforma come \[ d^2=a^3+\frac 5 4 \] ovvero, moltiplicata per $64$, $64d^2=64a^3+80$. Dopo la sostituzione $y:=8d$ e $x:=4a$ l'equazione è \[ y^2=x^3+80 \] che descrive una curva di Mordell. È ben noto che quella presa in considerazione ha come uniche soluzioni intere $(x, y)=(4, \pm 12), (-4, \pm 4), (1, \pm 9), (44, \pm 292)$, ma di queste solo alcune danno valori accettabili -per parità e segno- per $a$, e corrispondono alle soluzioni $(a, b)=(1, \pm 3), (11, \pm 73)$. I valori possibili di $a$ sono dunque $1$ e $11$.

<enigma>² ha scritto: l'equazione è \[ y^2=x^3+80 \] che descrive una curva di Mordell. È ben noto che quella presa in considerazione ha come uniche soluzioni intere $(x, y)=(4, \pm 12), (-4, \pm 4), (1, \pm 9), (44, \pm 292)$

oddio leggendo questo ho riflettuto sul fatto che la filosofia degli ultimi 100 anni avrebbe dovuto occuparsi della definizione della parola noto