OliForum Matematico

Dati due quadrati su un piano, si uniscano due vertici a caso , uno di un quadrato e uno dell'altro,e poi andando nello stesso verso in entrambi i quadrati si uniscano i rispettivi vertici successivi. Dimostrare che i punti medi dei quattro segmenti che si formano sono i vertici di un quadrato.

Chiamiamo $O$ il centro di uno dei due quadrati, $AB$ uno dei suoi lati, $A'B'$ il lato corrispondente dell'altro quadrato e $A'',B'',P$ e $Q$ rispettivamente i punti medi di $OA',OB',AA'$ e $BB'$. Notiamo in particolare che $A''B''$ è un lato di un terzo quadrato di centro $O''$ ottenuto da quello di lato $A'B'$ mediante un'omotetia di centro $O$ e rapporto $\dfrac{1}{2}$. Consideriamo ora i triangoli $AOA'$ e $BOB'$: per costruzione abbiamo che i segmenti $A''P$ e $B''Q$ sono paralleli a $OA$ e $OB$ e lunghi la loro metà, per cui $A''P=B''Q \wedge A''P \perp B''Q$. Questo ci permette di affermare che la rotazione di $90°$ e di centro $O''$ che manda $A''$ in $B''$ manda anche $P$ in $Q$. Ripetendo il ragionamento con un'altra coppia di lati dei due quadrati di partenza troviamo la stessa conclusione sulla corrispondente coppia di punti medi, e un quadrilatero con questa proprietà non può che essere un quadrato

Oppure, molto più velocemente:

Se immaginiamo i due quadrati sul piano di Gauss e chiamiamo $z$ e $w$ i numeri corrispondenti ai loro centri, allora i loro vertici sono dati da $z+r_i \alpha$ e $w+r_i \beta$, dove $r_i$ sono le radici quarte dell'unità ($1 \le i \le 4$), mentre $\alpha$ e $\beta$ sono due numeri complessi opportunamente scelti. Ricordando che il punto medio di un segmento è dato dalla media aritmetica dei numeri associati ai suoi estremi, otteniamo i quattro punti $\dfrac{z+r_i \alpha+w+r_i \beta}{2}=\dfrac{z+w}{2}+r_i \left( \dfrac{\alpha+\beta}{2} \right)$: a questo punto si nota facilmente che anch'essi sono vertici di un quadrato