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Dimostrare che un quadrilateero è un trapezio se e solo se unendo i punti medi di due lati opposti, il segmento che si ottiene è uguale alla media aritmetica tra gli altri 2 lati.

Ci provo, spero sia giusto, ed essendo uno dei primi problemi che risolvo abbiate pietà.

http://img825.imageshack.us/img825/8950/immaginehgu.png

Sarebbe una riformulazione del 3 corollario del teorema di talete.

Si formano classi di segmenti proporzionati sui lati BC ed AD e quindi deve esserci il parallelismo tra delle rette.
MN deve essere parallelo a DC e lo dimostro per assurdo.
Costruisco una retta r passante per M che interseca il lato BC nel punto N'. Ma a quel punto BC avrebbe un altro punto medio e quindi abbiamo la contraddizione delle ipotesi. Quindi la tesi è vera.
Costruisco la diagonale AC e prendo in considerazione il triangolo ADC, poichè MN è la parallela a DC passante per il punto medio di un lato, per talete, incrocerà AC nel suo punto medio (P).
Prendo adesso in considerazione il triangolo ABC, poichè NP congiunge i punti medi di due lati essa sarà parallela al terzo.
Poichè AB è parallelo ad MN ed MN è parallelo a DC, per la proprietà transitiva del parallelismo AB parallelo a DC.
Avendo dimostrato il parallelismo tra le basi, abbiamo dimostrato che si tratta di un trapezio.

Scusami ma non riesco a seguirti, ad esempio dove usi l'ipotesi su MN?

Scrivo la mia, coi vettori. Definisco:
Scelgo i punti medi così: $ M=\frac{A+B}{2} $ e $ N=\frac{C+D}{2} $. Allora $ MN=|M-N|=|\frac{A+B}{2}-\frac{C+D}{2}|=|\frac{A-D}{2}+\frac{B-C}{2}|\leq |\frac{A-D}{2}|+|\frac{B-C}{2}|=\frac{AD+BC}{2} $ dove l'ultimo passaggio è vero per la triangolare. Per ipotesi vale l'uguaglianza, quindi AD//BC.

Sì, In effetti è vero, hai ragione.

Dato che sono abituato ai problemi scolastici è assai probabile che mi sbagli.
Vorrei perciò un chiarimento, l'ipotesi su MN che è la semisomma delle basi non è una diretta conseguenza del fatto che MN unisce due punti medi?

No, infatti vale solo nel caso in cui due lati sono paralleli (banalmente vale anche per il parallelogramma oltre che per il trapezio) ed è quello che devi dimostrare

Caspita! Non ci avevo pensato, grazie mille del chiarimento !

Il segmento che unisce i due punti medi e parallelo alla base poichè se non lo fosse potremmo tracciare la prallella alla base passante per uno dei punti medi, ma per talete allora dovrebbe esistere un altro punto medio sull'altro lato...assurdo.Ora traccio la diagonale $CA$ e chiamo $P$ il punto di intersezione con $NM$ e noto che $PM$ è metà della base $AD$ (corollario di talete).Allora $ PN=\frac{1}{2}BC $.Poichè $PN$ interseca i punti medi di due lati del triangolo $ABC$ deve essere parallelo alla base(dimostrazione per assurdo analoga alla precedente), allora anche AD è parallelo a BD.
Qui sotto c'è il disegno, ma comunque mi sono spiegato molto male.Per chiarimenti chiedete.