Identità binomiale
Identità binomiale
Spero non sia già stato postato: trovare una forma chiusa per $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}\binom{n}{k} $
Re: Identità binomiale
Può essere una cosa del genere: $ (n+n^2)2^{n-2} $?
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Identità binomiale
No, prendi $n=3$, ottieni $1^2 \cdot 1+ 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 3 + 4^2 \cdot 1 = 1 + 12 + 27 + 16 = 56$, mentre $(3+3^2)2^{3-2} = (12)\cdot 2^{3-2}= 12 \cdot 2 = 24$Hawk ha scritto:Può essere una cosa del genere: $ (n+n^2)2^{n-2} $?
Ho sempre pensato che la serie armonica non divergesse..poi ho scoperto che non è così...
Ho sempre pensato che l'infinito fosse un numero..grande ma un numero.. poi ho scoperto che non è così...
E' inutile.. la matematica non da' certezze e nuoce gravemente alla sanità mentale..xDxD
Scopri il mondo di Ogame.
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E' inutile.. la matematica non da' certezze e nuoce gravemente alla sanità mentale..xDxD
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Re: Identità binomiale
Non capisco come hai svolto i conti a me viene:
$ \displaystyle\sum_{k=1}^{3} k^2\cdot\displaystyle\binom{3}{k} $
$ 1\cdot\displaystyle\binom{3}{1}=1\cdot\displaystyle\frac{3!}{(3-1)!1!}=3 $
$ 4\cdot\displaystyle\binom{3}{2}=4\cdot\displaystyle\frac{3!}{(3-2)!2!}=12 $
$ 9\cdot\displaystyle\binom{3}{3}=9\cdot\displaystyle\frac{3!}{(3-3)!3!}=9 $
$ 3+12+9=24 $
$ \displaystyle\sum_{k=1}^{3} k^2\cdot\displaystyle\binom{3}{k} $
$ 1\cdot\displaystyle\binom{3}{1}=1\cdot\displaystyle\frac{3!}{(3-1)!1!}=3 $
$ 4\cdot\displaystyle\binom{3}{2}=4\cdot\displaystyle\frac{3!}{(3-2)!2!}=12 $
$ 9\cdot\displaystyle\binom{3}{3}=9\cdot\displaystyle\frac{3!}{(3-3)!3!}=9 $
$ 3+12+9=24 $
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Identità binomiale
Hawk ha scritto:Non capisco come hai svolto i conti a me viene:
$ \displaystyle\sum_{k=1}^{3} k^2\cdot\displaystyle\binom{3}{k} $
$ 1\cdot\displaystyle\binom{3}{1}=1\cdot\displaystyle\frac{3!}{(3-1)!1!}=3 $
$ 4\cdot\displaystyle\binom{3}{2}=4\cdot\displaystyle\frac{3!}{(3-2)!2!}=12 $
$ 9\cdot\displaystyle\binom{3}{3}=9\cdot\displaystyle\frac{3!}{(3-3)!3!}=9 $
$ 3+12+9=24 $
mi sono accorto solo ora che c'è un $k$ da $1$ a $n$.. e non da $0$ a $n$ (per la precisione, ho svolto i conti con k da 0 a n nei coefficienti, e poi li ho moltiplicati per $(k+1)^2$ anzichè per $k$)..
Ho sempre pensato che la serie armonica non divergesse..poi ho scoperto che non è così...
Ho sempre pensato che l'infinito fosse un numero..grande ma un numero.. poi ho scoperto che non è così...
E' inutile.. la matematica non da' certezze e nuoce gravemente alla sanità mentale..xDxD
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E' inutile.. la matematica non da' certezze e nuoce gravemente alla sanità mentale..xDxD
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Re: Identità binomiale
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}\binom{n}{k}=n \sum_{k=1}^{n}k\binom{n-1}{k-1}=n \sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\binom{n-1}{k}=n\left ( \sum_{k=0}^{n-1}k\binom{n-1}{k}+ \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} \right )= $Sonner ha scritto:Spero non sia già stato postato: trovare una forma chiusa per $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}\binom{n}{k} $
$ \displaystyle =n\left ( \sum_{k=0}^{n-1}k\binom{n-1}{k}+ 2^{n-1} \right )=n\left ( \sum_{k=0}^{n-1}(n-1)\binom{n-2}{k-1}+ 2^{n-1} \right )=n(n2^{n-2}-2^{n-2}+2^{n-1})=n(n+1)2^{n-2} $
dove si è usato $ \displaystyle \sum _{i=0}^j \binom j i =2^j $ e $ \displaystyle \binom j i =\frac j i \binom {j-1} {i-1} $.
Rilancio per i novellini: trovate una dimostrazione combinatoria delle due identità che ho usato, e del risultato.
Ultima modifica di <enigma> il 16 mag 2011, 17:21, modificato 1 volta in totale.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: Identità binomiale
@<enigma>: per favore spezza l'espressione, che la fine non si vede neanche zoomando
Un metodo per risolverlo può essere in pura combinatoria: la somma vuol dire il numero di modi in cui scelgo un k, poi un insieme di k elementi e infine un capo e il suo vice, che eventualmente possono essere la stessa persona. Ora giro il conteggio: scelgo prima un capo e il suo vice e poi guardo il numero di sottoinsiemi dove posso metterli. Quindi distinguo i 2 casi:
-il capo e il vice coincidono: lo scelgo in n modi e li posso inserire in $2^{n-1}$ sottoinsiemi
-il capo è diverso dal vice: scelgo il capo in n modi e il vice in n-1 modi e ho $2^{n-2}$ sottoinsiemi in cui inserirli.
Quindi la somma fa $n\cdot 2^{n-1}+n(n-1)\cdot 2^{n-2}=n(n+1)\cdot 2^{n-2}$
Un metodo per risolverlo può essere in pura combinatoria: la somma vuol dire il numero di modi in cui scelgo un k, poi un insieme di k elementi e infine un capo e il suo vice, che eventualmente possono essere la stessa persona. Ora giro il conteggio: scelgo prima un capo e il suo vice e poi guardo il numero di sottoinsiemi dove posso metterli. Quindi distinguo i 2 casi:
-il capo e il vice coincidono: lo scelgo in n modi e li posso inserire in $2^{n-1}$ sottoinsiemi
-il capo è diverso dal vice: scelgo il capo in n modi e il vice in n-1 modi e ho $2^{n-2}$ sottoinsiemi in cui inserirli.
Quindi la somma fa $n\cdot 2^{n-1}+n(n-1)\cdot 2^{n-2}=n(n+1)\cdot 2^{n-2}$
Re: Identità binomiale
L'avevo proposto visto che mi stavo interessando di generatrici e stavo appunto leggendo quella famosa dispensa "generatingfunctionology". Mi piaceva l'idea di fare in modo alternativo identità di questo tipo... in particolare questa qui, penso di essere riuscito a farla con le derivate, ma c'è un modo "elementare" (insomma un modo semplice con le generatrici, anche se queste non mi sembrano proprio elementari)?
Re: Identità binomiale
Per la seconda basta svolgere: $ \displaystyle{{j! \over i!(j-i)!} = {j \over i}\cdot{(j-1)! \over (i-1)![j-1-(i-1)]!}} $<enigma> ha scritto:dove si è usato $ \displaystyle \sum _{i=0}^j \binom j i =2^j $ e $ \displaystyle \binom j i =\frac j i \binom {j-1} {i-1} $.
Rilancio per i novellini: trovate una dimostrazione combinatoria delle due identità che ho usato, e del risultato.
Per l'altra ci penso un po'...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Identità binomiale
Provo l'altra, spero anche stavolta che sia corretto:
$ S_j=\displaystyle\sum_{i=0}^j\displaystyle\binom{j}{i}=\displaystyle\sum_{i=0}^j\displaystyle\binom{j-1}{i}+\displaystyle\binom{j-1}{i-1}= $
$ S_j=\displaystyle\sum_{i=0}^{j-1}\binom{j-1}{i}+\displaystyle\sum_{i=0}^{j-1}\binom{j-1}{i}=2\displaystyle\sum_{i=0}^{j-1}\binom{j-1}{i}= $
$ 2S_{j-1}=2^j $
$ S_j=\displaystyle\sum_{i=0}^j\displaystyle\binom{j}{i}=\displaystyle\sum_{i=0}^j\displaystyle\binom{j-1}{i}+\displaystyle\binom{j-1}{i-1}= $
$ S_j=\displaystyle\sum_{i=0}^{j-1}\binom{j-1}{i}+\displaystyle\sum_{i=0}^{j-1}\binom{j-1}{i}=2\displaystyle\sum_{i=0}^{j-1}\binom{j-1}{i}= $
$ 2S_{j-1}=2^j $
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »