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L'obiettivo di questo thread è quello di dimostrare il teorema di Thebault
$\textbf{Teorema di Thebault}$: Sia $ABC$ un triangolo, $AP$ una sua ceviana. Sia $\omega_1$ la circonferenza tangente ai segmenti $AP$, $BP$ e alla circonferenza circoscritta $\omega$ di $ABC$, situata dalla stessa parte di $A$ rispetto a $BC$. Sia $\omega_2$ quella tangente a $AP$, $CP$ e $\omega$ sempre dalla stessa parte di $A$. Dimostrare che $O_1,I,O_2$ sono allineati, dove $O_1$ e $O_2$ sono i centri di $\omega_1$ e $\omega_2$ e $I$ è l'incentro di $ABC$.

Se volete un hint, sbirciate qui, è un lemma utile per una soluzione sintetica.

Visto l'enorme successo avuto, metto qualche hint Gli ultimi due hint esplicitano una possibile strada da prendere per dimostrare il primo.

Uso il lemma suggerito nel primo post E che soddisfazione il tutto E sicuro ci saranno un bordello di errori di lettere perchè il mio disegno aveva lettere diverse...

Lemma del vecchio: Enunciato e dimostrazione del lemma

Lemma del bambino Sia $\omega$ una circonferenza. Sia $ABDC$ un quadrilatero inscritto in $\omega$ e sia $P$ l'intersezione delle diagonali $AD$ e $BC$. Sia $\omega'$ la circonferenza tangente internamente ad $\omega$ e ai due segmenti $AP$ e $CP$. Chiamiamo $E$ e $F$ i punti di tangenza di $\omega'$ con $AP$ e $PC$ rispettivamente. Dimostrare che $E$, $F$ e l'incentro di $ABC$ sono allineati
Dimostrazione E ora dimostro il teorema!
Definisco $X$ l'intersezione tra $BC$ e $O_1,O_2$, e rispettivamente $U,V$ le intersezioni di $\omega_1,\omega_2$ con BC.
Dato che sono bisettrici interne ed esterne dello stesso angolo vale $PO_1\perp PO_2$.
Quindi applicando il lemma del bambino vale $VI\parallel PO_1$ e anche $UI\parallel PO_2$. Banalmente vale anche $UO_1\parallel VO_2$.
Chiamo $I'$ l'intersezione tra $UI$ e $O_1O_2$. Voglio dimostrare $VI'\parallel PO_1$ da cui poi ricavo $I=I'$ e quindi la tesi per la definizione di $I'$.
Per Talete e i vari parallelismi enunciati vale $\frac{XU}{XP}=\frac{XI'}{XO_2}$ e anche $\frac{XV}{XU}=\frac{XO_2}{XO_1}$. Moltiplicando le 2 equazioni membro a membro ottengo:
$\frac{XV}{XP}=\frac{XI'}{XO_1}$
che per Talete implica la tesi

Bene sono contento che qualcuno abbia rispolverato questo thread!
Ho iniziato a leggere la tua dimostrazione, ma non riesco a capire come vuoi applicare menelao ad $APX$, e soprattutto perché vale $FX=CX-CF$... forse mi perdo qualcosa o sono dei typo?

Avevo praticamente invertito tutte le lettere possibili... ora spero si capisca... (ho corretto le lettere nel testo del lemma )

Benissimo!! Perfetto! Tutto chiaro, bella la dimostrazione del lemma del bambino, e poi una volta mostrato quello la mia conclusione è simile alla tua... Si poteva, però, concludere in maniera diversa ricordando un teorema che dovresti conoscere moooolto bene xD Mai sentito il teorema di Pappo? http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Pappo