OliForum Matematico

È da un po' di tempo che me lo chiedo, ma non rieco a darne risposta.
Consideriamo le funzioni polinomiali nelle classi di resto modulo p (cioè i P(x) con $ P \in Z[x] $, visti come funzione da $ Zp $ a $ Zp $):
quali sono suriettive (o equivalentemente iniettive)?
potrebbe essere che lo siano solo quelle di primo grado?

Sono ben più di quelli solo di primo grado e caratterizzarli credo sia impossibile
Ma si fanno contare... perciò:

Bonus degli impiccati:
Quanti sono i polinomi suriettivi in $\mathbb{Z}_p$ di grado minore di $p$?

ti convincerai facilmente che, (visto che
$ x^p \equiv x \mod p $
)
quei due polinomi sono indistinguibili come funzioni polinomiali da Zp in Zp, quindi non sono solo quelli di primo grado...

di sicuro una volta che hai trovato l'insieme questo è chiuso sotto: somma di una costante, moltiplicazione di una costante, somma di un polinomio che come funzione ha valore costante, moltiplicazione per un polinomio che come funzione ha valore costante, forse altro.
di più non so aiutarti, mi dispiace.

Ad esempio, se $n$ è coprimo con $p-1$, $x^n$ è una biiezione di $\mathbb{Z}_p$

Spammowarrior ha scritto:una volta che hai trovato l'insieme questo è chiuso sotto: [...] forse altro.

composizione di polinomi (che corrisponde alla composizione di permutazioni): una delle difficoltà del problema è che è assai difficile (impossibile?) far interagire la struttura algebrica sui polinomi (somma e moltiplicazione, per capirci) con la struttura algebrica sulle permutazioni (composizione).
comunque, riesumiamo:

dario2994 ha scritto:bonus:
quanti sono i polinomi suriettivi in $\mathbb{F}_p[x]$, di grado minore di $p$?