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Si consideri una n+1-upla $\displaystyle (x_1,x_2,x_3, \dots x_n, x_{n+1} = x_1)$ di reali positivi. Trovare le due costanti $c_1(n)$ e $c_2(n)$ in funzione di $n$ tali che

$\displaystyle c_1(n) \leq \sum_{a=1}^{n} \frac{x_a}{x_a +x_{a+1}}\leq c_2(n)$

Non è difficile, nessuno si spaventi per il modo in cui l'ho messa giù ...

Chiamo S la somma del testo. Allora vale 1<S<n-1.

Parte 1: $ c_1(n)=1 $ e non vale mai il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: $ S > \sum_{a=1}^{n} \frac{x_a}{x_1+\dots +x_n}=1 $. D'altro canto, scegliendo $ x_1=0 $ e $ x_a=k^{a-2} $ per a>0 si vede che, se k tende a infinito, tutti i singoli pezzi tendono a 0 tranne l'ultimo che fa sempre 1.

Parte 2: $ c_2(n)=n $ e non vale mai il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: $ S= \sum_{a=1}^{n}1- \frac{x_{a+1}}{x_a+x_{a+1}}=n-S' $, dove S' funziona come S (è sempre ciclica, solo nell'ordine contrario) e quindi è al massimo 1. Quindi S<n-1.

ho alcune cosette da dire:
-prima cosa, se non vale mai il segno di uguaglianza, come fai a dire che siano proprio le costanti migliori da scegliere (penso che il problema chieda la massima $c_1$ e la minima $c_2$, se no non avrebbe molto senso
-seconda cosa, la prima non dipende da $n$, e soprattutto c'è un controesempio che la rende non valida, considera una 1-upla (si può dire ), essa da come somma $\frac{1}{2}$, che è minore di 1. Anche una 2-upla da come somma proprio $1$...

Provo a rispondere, magari ho preso una cantonata (algebra non mi piace per niente! ):
1) ho dimostrato che non posso arrivarci ma che posso avvicinarmi quanto voglio a 1 e n-1;
2) effettivamente i casi piccoli me li ero persi, infatti la dimostrazione falla per 2 elementi (con un 1 elemento non ce n'è visto che non si riesce manco a scrivere una frazione). Al posto del maggiore dovrei mettere maggiore o uguale nel caso 2 elementi insomma.

Sonner ha scritto: Parte 1: $ c_1(n)=1 $ e non vale mai il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: $ S > \sum_{a=1}^{n} \frac{x_a}{x_1+\dots +x_n}=1 $. D'altro canto, scegliendo $ x_1=0 $ e $ x_a=k^{a-2} $ per a>0 si vede che, se k tende a infinito, tutti i singoli pezzi tendono a 0 tranne l'ultimo che fa sempre 1.

Giusto, ma poni $x_a=k^{a-1}$ altrimenti hai dei problemi per $a=1$ (dividi per zero)

Sonner ha scritto:Provo a rispondere, magari ho preso una cantonata (algebra non mi piace per niente! ):
1) ho dimostrato che non posso arrivarci ma che posso avvicinarmi quanto voglio a 1 e n-1;

Attento hai dimostrato che ti puoi avvicinare a $1$ non a $n-1$!!!
Ma si fa quasi allo stesso modo...

Sonner ha scritto: Parte 2: $ c_2(n)=n $ e non vale mai il segno di uguaglianza.
Dimostrazione: $ S= \sum_{a=1}^{n}1- \frac{x_{a+1}}{x_a+x_{a+1}}=n-S' $, dove S' funziona come S (è sempre ciclica, solo nell'ordine contrario) e quindi è al massimo 1. Quindi S<n-1.

Devi spiegare perché $S'$ funziona come $S$, la sommatoria non è simmetrica quindi conviene spenderci due parole...

da $0 < \displaystyle \frac{x_a}{x_a +x_{a+1}} < 1$ segue che $0 < \displaystyle \sum_{a=1}^{n}\frac{x_a}{x_a +x_{a+1}} < n$ quindi boh scelgo $c_1(n)=-123456789$ e $c_2(n)=5n$

Non va bene il testo chiede maggiore uguale, non maggiore stretto.

ma a dire il vero questa è una generalizzazione di un problema a tre variabili che avevo risolto allenandomi, l'uguale l'ho messo solo in quanto pensavo che valesse anche per il caso generale...

ma il testo non chiede mica il minimo $c_2(n)$ e il massimo $c_1(n)$ che soddisfa quella roba

Effettivamente credo che andrebbe specificato, comunque era quasi ovvio che intendesse quello.

beh, non e' che si sara' dubbi cotalmente.

che ccazzo scrivo amandaaaaaaaaaa!

Ok....è un troll