OliForum Matematico

Provare che se l'equazione $$\frac{p}{x^2}+\frac{q}{y^2}=1$$ ha soluzioni per $x,y \in \mathbb{Z}$ e $p,q$ primi, allora $p+q$ è un quadrato perfetto.

Ovviamente tutti i termini sono interi positivi.
Perciò, dato che la frazione è ridotta ai minimi termini, devo avere che $x^2=y^2$
Dunque l'equazione originale diventa $\displaystyle{{p+q \over x^2}=1}$ ; allora $\displaystyle{p+q=x^2}$
C.V.D.

Spero che sia giusta...

Chi ti dice che le frazioni sono ridotte ai minimi termini?

amatrix92 ha scritto:Chi ti dice che le frazioni sono ridotte ai minimi termini?

Perchè $p,q$ sono primi...
Dimentico qualcosa?

$\frac24+\frac24 = 1$?

Non capisco una cosa, come facciamo ad essere sicuri $ x^2=y^2 $? Non dovremmo prima dimostrare che l'equazione $ qx^2+py^2=x^2y^2 $ non ha soluzione per $ x^2\ne y^2 $?

Forse ci sono.
Dimostriamo che l'equazione è falsa:

$ qx^2+py^2=x^2y^2 $
$ qx^2+py^2-x^2y^2=0 $
$ x^2(q-y^2)+py^2=0 $

Che ha soluzione soltanto se:
$ x^2=0,y^2=0 $, oppure $ q-y^2=0 $ e $ p=0 $, o $ x^2=0 $ e $ p=0 $, $ q-y^2=0 $ e $ y^2=0 $, ma in tutti i casi abbiamo la contraddizione delle ipotesi poichè p e q devono essere primi e $ x^2\ne y^2 $.

Abbiamo dunque $ x^2=y^2 $.
L'equazione si riconduce quindi ad $ \displaystyle\frac{p+q}{x^2}=1 $ che ha soluzione se $ p+q=x^2 $, cioè un quadrato perfetto.

Imponiamo delle limitazioni: l'equazione è valida se in ciascuna frazione numeratore e denominatore sono coprimi.

Manca qualcosa?

ma_go ha scritto:$\frac24+\frac24 = 1$?

Matty, mi sa che devi imporre altre condizioni...

No...l'esercizio dava solo queste informazioni

Hawk ha scritto:
Che ha soluzione soltanto se:
$ x^2=0,y^2=0 $, oppure $ q-y^2=0 $ e $ p=0 $, o $ x^2=0 $ e $ p=0 $, $ q-y^2=0 $ e $ y^2=0 $, ma in tutti i casi abbiamo la contraddizione delle ipotesi poichè p e q devono essere primi e $ x^2\ne y^2 $.

Attendo che x^2=0 e y^2 =0 non sono accetabili come soluzioni perchè quando hai trasformato l'eq. iniziale hai dovuto tener conto che x e y sono diversi da zero.Comunque non sono sicuro di quello che hai scritto.

Secondo voi per dimostrare che $x^2$ e $y^2$ sono uguali questo viewtopic.php?f=13&t=14994&p=127231&hil ... A0#p127231 può andare bene?

Sì hai ragione.
Ricapitoliamo un attimino.
Abbiamo l'equazione $ x^2(q-y^2)+py^2=0 $
Abbiamo supposto giustamente: $ x^2 \ne y^2 \ne 0 $ e $ p $ e $ q $ primi.
Una soluzione dell'equazione è quindi: $ q=y^2 $ e $ p=0 $, ma abbiamo la contraddizione dell'ipotesi secondo cui p e q sono primi.
Il problema sta in questo punto: $ q-y^2=-m $ può dare origine ad un numero negativo. Otteniamo quindi $ py^2-mx^2=0 $, qui non saprei continuare davvero, non trovo contraddizioni.
Forse non è questa la strada da battere.

Ho letto il messaggio di Ale.g, può essere una strada ma non capisco la dimostrazione di spammowarrior.

Posso provare a spiegartelo così... se abbiamo una qualsiasi frazione, per ottenere un intero dobbiamo aggiungere il pezzo che gli manca per arrivare a uno e poi un qualsiasi intero a piacere.
Esempio $\frac{x}{y}$ con $x<y$, dobbiamo aggiungergli $\frac{y-x}{y}$ e poi un intero a caso $n$.
In ogni caso avremo$\frac {ny-x}{y}$ da aggiungere,quindi il denominatore è sempre uguale.
Spero di essere stato chiaro...

Sono in totale assenza di allenamento, quindi potrei dire qualsiasi cosa assurda senza rendermene conto.
Comunque a me il caso in cui le frazioni non sono ridotte ai minimi termini non sembra un problema...se sono risucibili allora $x^2=np$ e $y^2=mq$ da cui segue $n+m=nm$ che è facilmente trattabile...

L'idea non è sbagliata,ma se poni che $x^2=np$ e $y^2=mq$ allora diventa $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=1$
Ora non sto a dimostrarlo ma gli unici numeri che soddisfano questa equazione sono $m=n=2$, da qui se vogliamo moltiplicare $m$ per un primo tale che ci risulti un quadrato perfetto l'unica scelta è 2.
Da qui deduciamo che $p=q=2$,che è accettabile.