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IL polinomio $p(x)$ ha coefficienti interi e possiede 8 diverse radici intere.
Sapendo che ,per un intero $n$ si ha $p(n)>0$, quanto può valere come minimo $p(n)$?
Io su questo esercizio non so proprio dove mettere mano, quiondi mi farebbe comodo una soluzione con tutto il procedimeto, più si parte dal basso e meglio è così magari riesco a capire qualcosa su questo argomento.
Grazie mille a tutti

razorbeard ha scritto:IL polinomio $p(x)$ ha coefficienti interi e possiede 8 diverse radici intere.

Il polinomio è di ottavo grado o può essere maggiore?

Sinceramente non lo so perchè l'esercizio è scritto proprio così, poi nemmeno posso fare ipotesi perchè sto a un livello talmente basso sui polinomi che non so se cambia qualcosa quando è di ottavo grado o meno

razorbeard ha scritto:Sinceramente non lo so perchè l'esercizio è scritto proprio così, poi nemmeno posso fare ipotesi perchè sto a un livello talmente basso sui polinomi che non so se cambia qualcosa quando è di ottavo grado o meno

Meno di sicuro non può essere, perchè dice che ha 8 radici intere... (e grado = n° radici)

Può quindi avere un grado $\geq8$

Be', se il grado del polinomio è proprio 8 vuol dire che lo puoi scrivere come (x-a)(x-b)(x-c)...(x-h) moltiplicando in tutto 8 polinomi di 1°grado in x. Infatti se a,b,c... sono radici del polinomio esso si azzererà per x che assume uno qualunque fra tali valori (pensaci: se x=a abbiamo x-a=a-a=0 e il prodotto si annulla). Ora, abbiamo detto che le radici del polinomio sono intere e che lo è anche il fattore n da sostituire ad x. Dunque ogni polinomio nella forma (x-k) assume un valore intero. Ma allora anche il prodotto complessivo di questi sarà intero. Fino a qui è chiaro?

Sia $ p(x)=(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_8)q(x) $ con q(x) ancora a coefficienti interi.
Devo minimizzare $ p(n) $: sono sicuro che questo avrà almeno 6 divisori "propri" (8 contando $ \pm 1 $) che sono i vari $ n-\alpha_i $, il minimo è quindi $ (1 \cdot 2\cdot 3\cdot 4)^2=576 $. D'altro canto è facile vedere che in $ p(x)=(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)(x^2-16) $ si ha $ p(0)=576 $.

Spero sia abbastanza chiaro

Tutte e due le risposte sono state soddisfacenti e vi ringrazio, l'unica cosa dubbia,nel messaggio di Sonner,è l'affermazione "Devo minimizzare $p(n)$: sono sicuro che questo avrà almeno 6 divisori "propri" (8 contando ±1) che sono i vari $n−αi$" cosa vuol dire propri? E perchè proprio 6?
Grazie ancora comunque...

razorbeard ha scritto:l'unica cosa dubbia,nel messaggio di Sonner,è l'affermazione "Devo minimizzare $p(n)$: sono sicuro che questo avrà almeno 6 divisori "propri" (8 contando ±1) che sono i vari $n−αi$" cosa vuol dire propri? E perchè proprio 6?

Per "propri" intende $ \neq\pm1 $. Infatti se $ p(n)=(n-\alpha_1)\ldots(n-\alpha_8)q(n) $, ciascuno degli $ n-\alpha_i $ sarà diverso dagli altri, in particolar modo almeno 6 di questi saranno diversi da $ \pm1 $. Non che sia necessario ragionare per divisori propri, a dire il vero: a questo punto è già chiaro che di meglio di $ 1(-1)2(-2)3(-3)4(-4) $ non si può fare.

Nel testo dell'esercizio c'è scritto che per un intero $n$ si ha $p(n)>0$, ma questo vuol dire che per qualsiasi intero $n$ vale questa proprietà?
Esempio: se nella soluzione di Sonner poniamo $n=1$ il polinomio non dovrebbe valere 0?

Quel "Per un intero" deve essere interpretato nel senso di "Sapendo che per un certo intero fissato $ n $ il polinomio assume valore positivo, quanto vale come minimo $ p(n) $?" (altrimenti ci sarebbe stato scritto "per ogni intero n"...)