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Quanti sono i numeri interi compresi fra 1 e 2011 che non sono esprimibili come somma di 2 quadrati perfetti?
Io l'ho fatto così... se come differenza di quadrati impostiamo un numero qualsiasi meno il suo precedente viene $x^2-(x-1)^2=2x-1$, da cui si deduce che tutti i numeri dispari sono esprimibili.
se impostiamo la differenza fra numeri la cui differenza è 2 viene $(x+2)^2-x^2=4x+4$ da qui i numeri pari esprimibili saranno solo quelli divisibili per 4, quindi i numeri dispari sono tutti esprimibili,perciò ce ne restano solo 1005 da considerare.
Tra questi sono esprimibili solo $\frac {1005}{4}$ cioè 251,quindi quelli non esprimibili sono 1005-251=754.
Corretto?

razorbeard ha scritto:Quanti sono i numeri interi compresi fra 1 e 2011 che non sono esprimibili come somma di 2 quadrati perfetti?
Io l'ho fatto così... se come differenza di quadrati impostiamo un numero qualsiasi meno il suo precedente viene $x^2-(x-1)^2=2x-1$, da cui si deduce che tutti i numeri dispari sono esprimibili.
se impostiamo la differenza fra numeri la cui differenza è 2 viene $(x+2)^2-x^2=4x+4$ da qui i numeri pari esprimibili saranno solo quelli divisibili per 4, quindi i numeri dispari sono tutti esprimibili,perciò ce ne restano solo 1005 da considerare.
Tra questi sono esprimibili solo $\frac {1005}{4}$ cioè 251,quindi quelli non esprimibili sono 1005-251=754.
Corretto?

Somma o differenza??? =)
In ogni caso, senza controllare i dettagli fino a che non capisco qual è il testo, un errore banale che si nota subito: "Tra questi sono esprimibili solo $\frac {1005}{4}$ cioè 251".. in realtà sono esattamente il doppio, perchè metà dei numeri pari sono divisibili per 4.. quindi $1005\over2$

In ogni caso da quello che hai scritto hai dimostrato che al massimo sono tot, e non che lo siano effettivamente, infatti non hai dimostrato che i numeri pari non multipli di 4 non siano esprimibili...
Invece di usare quel ragionamento che è solo d'aiuto e non dimostra niente...usa le congruenze!

Claudio. ha scritto:hai dimostrato che al massimo sono tot, e non che lo siano effettivamente

Lui ha dimostrato che sono almeno tot, infatti ha trovato una costruzione.
Ora deve dimostrare che gli altri (multipli di 2, non di 4) non sono esprimibili.

Sempre che si parli di differenza di quadrati...

Il problema chiede di trovare quelli non esprimibili, non quelli esprimibili, quindi lui ha trovato che "al massimo" non "almeno"... (sempre tenendo conto della correzione di Valenash)

Già scusate per l'errore del primo messaggio, l'esercizio chiede differenza ,non somma, ma comunque se facessi la differenza fra un numero qualsisi e il suo precedente, scaturisce un dispari, da qui il fatto che tutti i dispari sono esprimibili.
Se facciamo la differenza fra un numero qualsiasi e lo stesso sottratto di 2, viene fuori un numero NECESSARIAMENTE divisibile per 4.
A questo punto quelli se un numero è esprimibile o è dispari o è per forza divisibile per 4, da cui non sono esprimibili solo la metà dei numeri pari, cioè $\frac{1005}{2}=502$

razorbeard ha scritto:Già scusate per l'errore del primo messaggio, l'esercizio chiede differenza ,non somma, ma comunque se facessi fa la differenza fra un numero qualsisi e il suo precedente, scaturisce un dispari, da qui il fatto che tutti i dispari sono esprimibili.
Se facciamo la differenza fra un numero qualsiasi e lo stesso sottratto di 2, viene fuori un numero NECESSARIAMENTE divisibile per 4.
A questo punto quelli se un numero è esprimibile o è dispari o è per forza divisibile per 4, da cui non sono esprimibili solo la metà dei numeri pari, cioè $\frac{1005}{2}=502$

Occhio eh.. agli arrotondamenti.. allora, considera quelli sino a 2008, son 1004 numeri pari dunque 502 di quelli non sono esprimibili..
maaaaaaa.. ora... 2010 è esprimibile??? NO! perchè non è multiplo di 4, dunque 502+1=503..
Se non ti escono divisioni esatte quando si tratta di contare delle cose, guarda bene i casi al limite..
in generale, perchè sarebbe un pessimo modo di perdere punti se fosse una dimostrazione da fare..o una domanda a risposte chiuse.
Per il resto, è giusta

Verissimo, avevo fatto un arrotondamento errato,grazie per avermelo detto, comunque mi fa piacere sapere che tutto il resto è esatto