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[Dalla prova di ammissione alla galileiana 2010 - Esercizio 6]

Un tetraedro si trova appoggiato su un piano con una certa faccia, gli viene dato un colpo e comincia a rotolare. II rotolamento avviene per facce successive,tutte equiprobabili.

i) Si calcoli la probabilità $ q_n $, che il tetraedro torni a poggiare sulla faccia iniziale esattamente dopo $ n $
rotolamenti (e non prima).

ii) Si calcoli la probabilità $ p_n $ che dopo $ n $ rotolamenti il tetraedro torni a poggiare sulla faccia iniziale. E' possibile che tale probabilità sia nulla?

iii) Si calcoli il numero medio di rotolamenti nccessari affinchè il tetraedro torni a poggiare sulla faccia iniziale (suggerìmento: può essere utile sapere che $ \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2} \forall x: |x|<1... $)

Mi interessa in particolare il punto iii) perchè non riesco a capire cosa significhi il numero medio di rotolamenti.. Cioè dal punto ii) trovo una probabilità in funzione di $ n $ (numero di "rotolate") e poi non so più come andare avanti!

Ma il tetraedro può tornare indietro? Mi spiego meglio, è possibile che dopo 2 rotolamenti sia sulla faccia iniziale? In generale che rotolando torni sulla faccia immediatamente precedente?

Penso proprio di si, dato che non è specificato il contrario!

Dice "facce successive"...non si capisce bene...

Partiamo dal punto i... numeriamo da 0 a n gli esiti dei rotolamenti, che possiamo chiamare A, B, C o D. 0 e n sono fissati e corrispondono ad A. Il numero di casi possibili è 3^(n-1), perché ognuno degli esiti in mezzo, che sono n-1, può essere scelto fra 3 distinti. Escludendo i casi in cui esce di nuovo A, i casi si riducono a 3x2^(n-2). La probabilità totale è dunque di (2/3)^(n-2). Giusto?

Perchè consideri i casi possibili $ 3^{n-1} $ e non $ 3^{n} $? Ogni rotolamento da 3 possibili esiti no? Cioè cerco di spiegarmi: A non lo puoi "fissare" arbitrariamente alla fine quando conti i casi possibili, perchè non è certo che ci sarà..

è meglio farlo direttamente con la probabilità. cioè pensando che al primo chiaramente non può uscirea A, quindi per ogni rotolamento dopo il primo abbiamo probabilità $2/3$ che non sia A, e che al rotolamento n abbiamo $1/3$ che esca A quindi $\frac13(\frac23)^{n-2}$

Esatto ma anche a balossino viene se sostituisce $ 3^n $ a $ 3^{n-1} $..

Citrullo ha scritto:Perchè consideri i casi possibili $ 3^{n-1} $ e non $ 3^{n} $? Ogni rotolamento da 3 possibili esiti no? Cioè cerco di spiegarmi: A non lo puoi "fissare" arbitrariamente alla fine quando conti i casi possibili, perchè non è certo che ci sarà..

Sto supponendo che A sia ritornato dopo esattamente n rotolamenti, così per esempio se n=3 ho A??A, e devo elevare 3 alla seconda, cioè a n-1

Ma 3 rotolamenti, significa che rotola 3 volte, la prima A non è un rotolamento, è lo stato di quiete iniziale LoL. Inizia da A rotola una volta e fa x una seconda volta e fa y una terza e fa A: A X Y A.

balossino ha scritto:

Citrullo ha scritto:Perchè consideri i casi possibili $ 3^{n-1} $ e non $ 3^{n} $? Ogni rotolamento da 3 possibili esiti no? Cioè cerco di spiegarmi: A non lo puoi "fissare" arbitrariamente alla fine quando conti i casi possibili, perchè non è certo che ci sarà..

Sto supponendo che A sia ritornato dopo esattamente n rotolamenti, così per esempio se n=3 ho A??A, e devo elevare 3 alla seconda, cioè a n-1

Ah, aspetta, ho capito cosa vuoi dire! Sì, in pratica stavo considerando certo un fatto che in realtà ha probabilità 1/3 di avvenire, perciò devo dividere per 3. Ok, chiaro

Claudio. ha scritto:Ma 3 rotolamenti, significa che rotola 3 volte, la prima A non è un rotolamento, è lo stato di quiete iniziale LoL. Inizia da A rotola una volta e fa x una seconda volta e fa y una terza e fa A: A X Y A.

Infatti ho chiamato lo stadio iniziale 0, cosicché n corrisponde al numero dei rotolamenti. Il mio vero errore l'ha trovato Citrullo.

Per il punto 2.
Per n<2 la probabilità è chiaramente 0, per $n\ge2$ se chiamiamo $p(n)$ la probabilità che cerchiamo, allora abbiamo che $p(n+1)$ è uguale alla probabilità che nel lancio n non esca la faccia A diviso 3 cioè $\displaystyle p(n+1)=\frac{1-p(n)}3$. Adesso poichè $p(2)=\frac13$ è facilmente calcolabile a mano, possiamo calcolare le altre per ricorsività. é facile notare che il denominatore è $3^{n-1}$ e che al numeratore seguendo la ricorsività avremo $3^{n-2}-3^{n-3}+3^{n-4}-...\pm1$ che può essere scritto,usando la famosa scomposizione, come $\displaystyle\frac{3^{n-1}+(-1)^n}{4}$ quindi infine $\displaystyle p(n)=\frac{3^{n-1}+(-1)^n}{4\cdot 3^{n-1}}=\frac14+\frac{(-1)^n}{4\cdot3^{n-1}}$
Che mostra come per n grandi la faccia di partenza perda importanza, e che per n pari è più probabile che per n dispari.
Per il terzo punto credo mi manchi la teoria...

Edit: Cercando la definizione di media in realtà si vede che è molto scolastico l'ultimo punto, basta applicare la definizione e la forma chiusa che ti da il testo...forse presuppone che questa definizione non sia conosciuta

Chiaramente è giusto ma.. Non capisco ancora il significato di quella sommatoria (quella che tu definisci "scolastica")..

Neanche io, anche perchè non mi ci sono interessato, ho semplicemente visto che la definizione di media o meglio di valore atteso, in alcuni casi, che dovrebbe essere il nostro, è uguale a $\displaystyle \sum_{i=1}^nnp(n)$ attento però che per l'esercizio 3 $p(n)$ è quella del primo esercizio non del secondo.
Comunque credo proprio che chi ha fatto l'esercizio presupponesse che queste nozioni fossero sconosciute.