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Sia n la parte intera di $(\sqrt{2600} +50)^{100}$. Che resto si ottiene dividendo n per 10000?

bene, in primis noto che il polinomio minimo di quel numero non è altro che $[x-10(15-\sqrt{26})][x-10(15+\sqrt{26})] = x^2-100x-100$. Questo però è il polinomio interpolante della serie $a_{n+2} = 100a_{n+1} +100a_n$ (1) dove a causa del modo per cui abbiamo costruito la serie si ha che $\displaystyle a_{n+2} = (\sqrt{2600} +50)^{n+2} +(50-\sqrt{2600})^{n+2}$.
Ma dalla (1) si vede subito che $a_{n+2} \equiv 0 \pmod{10000}$ $\forall n >0$. In altre parole si ha che $a_{100} = (\sqrt{2600} +50)^{100} +(50-\sqrt{2600})^{100}\equiv 0 \pmod{10000}$ Siccome $(50-\sqrt{2600})^{100} <1$ si ha che $(50-\sqrt{2600})^{100}$ in $(\sqrt{2600} +50)^{100} +(50-\sqrt{2600})^{100}$ non fa altro che aggiungere quel poco che basta a $(\sqrt{2600} +50)^{100}$ per farlo diventare intero. In altre parole $a_{100} = \lceil (\sqrt{2600} +50)^{100} \rceil = \lfloor (\sqrt{2600} +50)^{100} \rfloor +1 \equiv 0 \pmod{10000}$ e si ha quindi che $\lfloor (\sqrt{2600} +50)^{100} \rfloor \equiv 9999 \pmod{10000}$

Vista in un modo un più semplice, dato che è un'idea nota e utile anche per i nuovi:
Per comodità di notazione, sia $ \alpha=(\sqrt{2600}+50)^{100},\;\;\beta=(\sqrt{2600}-50)^{100} $.
1) $ \alpha+\beta\in\mathbb{N} $ (i termini con la radice appaiono con segno opposto nei due sviluppi, vediatela con lo sviluppo di Newton o il triangolo di Tartaglia).
2) $ 51^2=2601\Rightarrow0<\sqrt{2600}-50<1\Rightarrow0<\beta<1 $.
3) $ \alpha\not\in\mathbb{N}\;\wedge\;\alpha+\beta\in\mathbb{N}\;\wedge\;0<\beta<1\Rightarrow\left\lfloor\alpha\right\rfloor=\alpha+\beta-1 $
4) Raccogliendo $ \alpha+\beta=10^{100}\cdot\left((\sqrt{26}+5)^{100}+(\sqrt{26}-5)^{100}\right) $. Come nel punto 1, $ (\sqrt{26}+5)^{100}+(\sqrt{26}-5)^{100}\in\mathbb{N} $, dunque $ \alpha+\beta\equiv 0\;\;(\textrm{mod }10^4)\Rightarrow\alpha+\beta-1\equiv -1\equiv 9999\;\;(\textrm{mod }10^4) $.