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In un'urna ci sono delle palline bianche o nere (potrebbero anche essere tutte bianche o tutte nere) e si eseguono $n$ estrazioni con reinserimento.
Se le palline bianche estratte sono in numero pari vince Barbara, se sono in numero dispari Alberto.
Determinare se il gioco è favorevole per Barbara, per Alberto o se è equo.

E' favorevole per Alberto.
infatti, senza contare le probabilità che non son richieste, se $n$ è pari, allora per i due la vittoria è equiprobabile (tante probabilità che ci siano 1,3,5,...,n-1 totale n/2 valori) palline bianche quante quelle che ce ne siano 2,4,6,...,n, totale n/2 valori)
Se invece $n$ è dispari, ci son più probabilità che le palline siano in numero dispari (1,3,5,...,n, totale (n+1)/2 valori) che quelle che siano in numero pari (2,4,...,n-1 totali: (n-1)/2 valori).
Pertanto il gioco è favorevole per Alberto.

Mi sembra abbastanza falso: anzi, il numero di palline bianche e nere è importante, direi. Se ci sono solo palline nere vince sempre Barbara; se ce ne sono solo bianche vince Barbara se n è pari, Alberto se n è dispari. Insomma, dipende sia dalla probabilità che ad ogni estrazione si peschi una pallina bianca, sia da n.

Io sono arrivato ad una sommatoria brutta, ma credo di aver sbagliato qualcosa...

sasha™ ha scritto:Mi sembra abbastanza falso: anzi, il numero di palline bianche e nere è importante, direi. Se ci sono solo palline nere vince sempre Barbara; se ce ne sono solo bianche vince Barbara se n è pari, Alberto se n è dispari. Insomma, dipende sia dalla probabilità che ad ogni estrazione si peschi una pallina bianca, sia da n.

Io sono arrivato ad una sommatoria brutta, ma credo di aver sbagliato qualcosa...

il caso con solo palle bianche è pari.
In quello con solo nere ovviamente vince sempre Barbara..
nell'altro, abbiamo probabilità x di estrarre una nera, y una bianca, con x+y=1
Allora, possiamo considerare tutte le possibili estrazioni risultanti e vedere quante di queste son vincenti per uno o per l'altro..e di queste, se n è pari son pari, se n è dispari, è più facile che vinca alberto.

Date un'occhiata qui, questo si può fare più o meno allo stesso modo ma con le radici quadrate dell'unità.
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