OliForum Matematico

Si consideri un triangolo $ABC$ con $\displaystyle \hat{C}= \frac{\pi}{3}$. Si dimostri che $\displaystyle \frac{1}{BC} +\frac{1}{CA} \geq \frac{2}{AB}$.

Uso le solite notazioni, tesi: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{c}$
Moltiplico per i denominatori e ottengo $c(a+b)\geq 2ab$
1) $a+b\geq 2 \sqrt{ab}$ che è vera per AM-GM
2) $c\geq \sqrt{ab}$ che elevando al quadrato e usando il teorema del coseno (carnot) si ottiene $a^2+b^2-ab\geq ab$ che riscritta è $(a-b)^2\geq 0$ che è sempre vera.

Moltiplicando 1 e 2 ottengo la tesi.

facile ma simpatica generalizzazione:
fissato l'angolo in C=$\alpha$ allora vale $\displaystyle \frac 1{AC}+\frac 1{BC}\ge \frac{4\sin\frac{\alpha}2}{AB}$