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Siano dati sul piano certesiano 3 punti non collineari $ A $ , $ B $ e $ C $ a cordinate intere tali che $ AB $ , $ BC $ , $ CA $ siano interi. Qual'è il minor valore possibile di $ AB $ ?

Secondo me è 3:

Si vede facilmente che A(0;0), B(0;3) e C(4;0) soddisfano quanto richiesto, quindi AB= 3 è possibile ottenerlo. Mi basta quindi mostrare che AB=1 e AB=2 sono impossibili da ottenere.

Suppongo AB=1: per la disugualianza triangolare sappiamo che gli altri due lati (numeri interi) devono essere uguali, perciò il triangolo è necessariamente isoscele ma allora, ponendo wlog A(0;0) e B(0;0) [non ci sono altre possibilità per un segmento di lunghezza 1 con vertici a coordinate intere] otterrei necessariamente C ($ \frac{1}{2} $ ; yC) che non va bene.

Suppongo AB=2: come sopra allora posso immaginare A(0;0) e B(2;0) senza perdere di generalità, e controllo i 3 casi:
I) il triangolo è rettangolo: impossibile perchè non esiste una terna pitagoraica con il 2.
II) il triangolo è acutangolo in A ed in B: impossibile perchè avrei xC=1 e perciò ABC isoscele con altezza intera, assurdo per teorema di Pitagora (non esiste una terna pitagorica con il numero 1, ma tracciando l'altezza del triangolo ottengo due triangoli rettangoli a lati interi!)
III) il triangolo è ottusangolo in A o in B: facendo riferimento alla figura allegata dovrei avere $ h^2+l^2=b^2 $ ma anche $ h^2+(l+2)^2 = (b+1)^2 $ ottenendo (risolvo il sistema) $ 4l+4=2b+1 $, un'equazione senza soluzioni intere (LHS è pari, RHS è dispari).

Perciò il minimo AB che posso ottenere è 3.

(EDIT: g

Perfetto !!!! Praticamente quasi uguale alla mia che cambia solo nel caso iii) del secondo punto dove ho usato di nuovo la disuguaglianza triangolare.
p.s: typo nello scrivere le coordinate dei punti nel primo caso.

Si beh anch'io l'ho usata implicitamente!

Grazie, ho editato!

non basta dire che la più piccola terna pitagorica è 3,4,5?
quindi AB=3

giro94 ha scritto:non basta dire che la più piccola terna pitagorica è 3,4,5?
quindi AB=3

No, non basta perchè nessuno ti dice che i triangoli sono rettangoli.