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Provare o falsificare: $ x $ e $ y $ numeri reali, se $ y>0 $ e $ y(y+1) \leq (x+1)^2 $ allora $ y(y-1)\leq x^2 $

Bon, mi sembra molto scolastica come soluzione, vediamo...

affinchè $y$ soddisfi la prima condizione, ovvero che $y(y+1) \leq (x+1)^2$ si deve avere che $\displaystyle \frac{-1-\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2} \leq y \leq \frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2}$

Affinchè invece $y$ soddisfi la seconda condizione, ovvero che $y(y-1) \leq x^2$, si deve avere che $\displaystyle \frac{1-\sqrt{1+4x^2}}{2} \leq y \leq \frac{1+\sqrt{1+4x^2}}{2}$.

Sono facili le disequazioni da risolvere affinchè si arrivi a dimostrare che

$$\displaystyle \frac{-1-\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2} \leq \frac{1-\sqrt{1+4x^2}}{2} \leq 0 \leq y \leq \frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2} \leq \frac{1+\sqrt{1+4x^2}}{2} $$

Siccome si deve avere che $y>0$ per ipotesi, si ha che la prima condizione è soddisfatta da ogni elemento dell'insieme
$$\displaystyle S_1:=\{y:y \leq \frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2}, y \in \mathbb{R}^+\}$$
e che la seconda condizione è soddisfatta invece da ogni elemento dell'insieme
$$\displaystyle S_2 := \{ y: y \leq \frac{1+\sqrt{1+4x^2}}{2}, y \in \mathbb{R}^+\}$$.
Siccome si ha che $S_1 \cap S_2 = S_1$, la prima condizione implica la seconda.

Sperando di non avere fatto errori idioti...

Va bene, però potevi scrivere come la risolvevi l'unica disuguaglinaza che alla fin fine c'era nell'esercizio xD in ogni caso è corretta.