OliForum Matematico

Determinare tutte le $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tali che

$$f(f(x)+y) = f(x^2-y)+4f(x)y$$

credo che il testo sia sbagliato.... dovrebbe essere $f(x^2-y)$ e non $f(x-y^2)$

sul libro delle olimpiadi il testo è identico a quello che ho scritto, ma la soluzione che da fa pensare che tu abbia ragione, quindi edito e vi auguro buon lavoro

Pongo x=y=0
f(f(0))=f(0)
Pongo x=0, y=-f(0)
f(0)=0 (deriva anche dall'identità di sopra)
Pongo y=-f(x)
$ f(f(x)+x^2)=4[f(x)]^2 $
Pongo $ y=x^2 $
$ f(f(x)+x^2)=4x^2f(x) $
Uguagliando a quella sopra ho f(x)=0 oppure $ f(x)=x^2 $
Ora se pongo x=0 ho f(y)=f(-y)
Voglio escludere il mistone. Suppongo che esistano x e y diversi da 0 tali che f(x)=0, $ f(y)=y^2 $, allora avrei:
$ y^2 = f(x^2-y) $
Dato che y è diverso da 0 ho:
$ y^2 = x^4 - 2x^2y+y^2 $
Dato che x è diverso da 0 ho:
$ y=\frac{x^2}{2} $
Quindi gli y di quel tipo sono necessariamente positivi, ma io ho f(y)=f(-y) quindi se vale per un qualunque positivo vale anche per il suo opposto, che mi dà l'assurdo.

P. S. ho omesso volutamente i quantificatori