OliForum Matematico

Su ciascun vertice di un cubo è scritto un numero tra 1 e -1, mentre su ogni faccia è scritto il prodotto dei numeri ai suoi quattro vertici. Cambiando il segno al numero di qualche vertice, si può fare in modo che la somma di tutti i 14 numeri faccia 0?

Chiarimento necessario (scusate): tra 1 e -1 sta per o 1 o -1, e non un numero compreso.

Secondo me no,ho fatto alcune prove immaginando prima tutti 1 e poi tutti -1 e cambiando i segni mi viene sempre un'eccesso di uno o dell'altro,mai 7.

E' giusto o sbagliato?

pepperoma ha scritto:Cambiando il segno al numero di qualche vertice, si può fare in modo che la somma di tutti i 14 numeri faccia 0?

intendi senza mantenere inalterati i numeri scritti sulle facce, vero?

Credo che la traccia sia: "Metto un 1 o un -1 su ogni vertice. Sulle facce ci va il prodotto. È possibile che la somma dei 14 numeri sia 0?".

Ok, ho capito il meccanismo. E' come il terzo problema di Cesenatico di quest'anno (l'unico che ho fatto completo ). Praticamente noi abbiamo una situazione iniziale, diciamo quella con vertici tutti + o tutti -. Le somme algebriche nei due casi sono +14 e -2, ma questo non è importante. L'importante è che si tratta di numeri pari la cui metà è dispari, nel linguaggio formale congrui a 2 modulo 4. Zero non è congruo a 2 modulo 4, perciò mi basta dimostrare che la congruenza si conserva. Ed è effettivamente così, visto che ogni mossa cambia lo "stato" di esattamente 4 numeri.

Sì, è giusto: la somma è congrua a 2 mod 4 e quindi non può essere 0. E' un tipico esercizio con invarianti.