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Trovare tutti gli interi positivi $ x,y,z $ tali che $ 3^x+4^y=5^z $.

Ci provo!

Guardando l'equazione modulo 5 ,4 e 3, concludo che x,y e z devono essere per forza pari e in particolare x= 4k + 2
Pongo quindi y=2m e z=2g

Scomponendo come differenza di quadrati avrò:

$ \left ( 5^{g}-4^{m} \right )\left ( 5^{g}+4^{m} \right )= 3^{2(2k +1)} $

Si nota subito che g =m=1 e k=0 è una soluzione.
Ponendo $ 5^{g}-4^{m}= 3^{t} $ con t > 0(poiché il caso t= 0 è stato già visto) e $ 5^{g}+4^{m}= 3^{q} $ con q > 0 , mettendo le 2 equazioni a sistema e sottraendo membro a membro avremo:
$ 2\cdot 4^{m}=3^{q}-3^{t} $
che non avrà soluzioni all'infuori di m=1 , q=2 e t=0 che abbiamo già esaminato.

L'unica soluzione sarà data quindi dalla terna $ \left ( 2,2,2 \right ) $

Spero di non aver perso qualcosa per strada xD

Provo a parte i casi in cui uno tra $ x, y $ e $ z $ è $ 0 $:
$ x=0 $ fornisce la prima diofantea che hai postato che ha soluzione $ (x,y,z)=(0,1,1) $
$ y=0 $ è assurdo perchè la somma di due dispari è un pari
$ z=0 $ è anche assurdo perchè la somma di due numeri $ \geq 1 $ è maggiore o uguale a $ 2 $

Ora posso usare i moduli supponendo $ x,y,z>0 $: guardo mod $ 3 $ ottenendo $ 1^y \equiv (-1)^z (3) $ da cui $ z $ è pari. Scrivo $ z=2Z $ e uso i prodotti notevoli:
$ 3^x=(5^Z+2^y)(5^Z-2^y) $
Perchè questa ugualianza sia verificata deve succedere che i due fattori del RHS siano potenze di 3. Ho due possibilità:

i) una dei due è $ 1 $: in particolare allora sarà $ 1 $ il più piccolo dei due, ovvero $ 5^Z-2^y=1 $. Guardo mod 3 ottenendo $ (-1)^Z \equiv 1+ (-1)^y (3) $ quindi per forza $ Z $ è dispari. Usando i prodotti notevoli però ottengo $ 2^y=(5-1)( \displaystyle \sum_{i=0}^{Z-1} 5^i ) $ cioè $ 2^{y-2}= \displaystyle \sum_{i=0}^{Z-1} 5^i $ da cui (dato che RHS è un numero dispari) per forza $ y=2 $ da cui la soluzione $ (x,y,z)=(2,2,2) $.

ii) nessuno dei due fattori è $ 1 $ o, equivalente, sono entrambi divisibili per $ 3 $. Ma allora avrei il sistema
\begin{cases}
(-1)^z+(-1)^y \equiv 0 (3) \\
(-1)^z-(-1)^y \equiv 0 (3) \\
\end{cases}
Che non ha soluzioni.

Quindi le uniche due terne che soddisfano la tesi sono $ (x,y,z)=(0,1,1) $ e $ (x,y,z)=(2,2,2) $

EDIT: anticipato di pochissimo..