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Trovare tutti gli interi positivi $ x,y $ per cui $ 1+2^x=y^2. $.

$1+2^x=y^2$
$y^2-1=2^x$
$(y+1)(y-1)=2^x$. Ora sappiamo che $(y+1)$ e $(y-1)$ distano tra loro di 2 e devono necessariamente avere solo fattori 2 nella loro scomposizione e gli unici numeri con questa proprietà sono 4 e 2 .
Da cui $y=3$ e $x=3$ sono le uniche soluzioni.

E' una delle prime diofantee che risolvo e quindi potrei facilmente sbagliarmi.

Riscrivo l'equazione come: $ 2^x=(y+1)(y-1) $
Essendo $ 2^x $ una potenza del 2 la cifra delle unità deve necessariamente essere pari, da cui deduciamo $ y $ dispari.
$ (y+1)(y-1) $ entrambi i fattori devono essere una potenza del 2.
Analizziamo la progressione delle potenze del $ 2 $: $ 2,4,8,16,32,64,128,256... $.
Dobbiamo perciò ricavarci $ y $ in modo tale che precedente e consecutivo siano potenza del 2.
L'unica soluzione è perciò$ x=3 $ e $ y=3 $

Edit: Anticipato.

ale.G ha scritto:Ora sappiamo che $(y+1)$ e $(y-1)$ distano tra loro di 2 e devono necessariamente avere solo fattori 2 nella loro scomposizione e gli unici numeri con questa proprietà sono 4 e 2 .

Provo a dimostrarlo il più formalmente possibile...
chiamo $z=y-1$. Come hai detto devo avere due potenze di 2, dunque ho che $z=2^n$ e $z+2=2^m$ . Allora $2^n=2(2^{m-1}-1)$ . Ma l'ultimo fattore è dispari, tranne nel caso in cui $m-1=1$ . Dunque ho come unica soluzione $m=2$ e $n=1$ .