OliForum Matematico

Trovare tutte le coppie di primi positivi $(p,q)$ tali che $p^2-20q$ sia un quadrato perfetto.

Hint

Acc... non volevo guardare l'hint ma l'ho guardato!
pongo $p^2-20q=n^2$ . $n$ deve essere dispari. Modulo 8 i quadrati di dispari sono congrui a 1, quindi devo avere che $20q\equiv 4q\equiv 0\pmod 8$ . Ma moltiplicando 4 per un dispari non otterrò mai un multiplo di 8.
ora provo con p o q $=2$ . Ma p non può essere 2, altrimenti verrebbe negativo. Quindi mi rimane $p^2-40=n^2$ che diventa $(p+n)(p-n)=40$. Risolvendo i sistemi ho che $p=11, 7$.
dunque le uniche soluzioni sono $(p,q)=(7,2);(11,2)$

C'è anche un altra via? Perchè non mi soddisfa molto...

bah. io da ignorante avrei fatto diversamente.
porti p^2 dall'altro lato.
a quel punto a sinistra hai -20q, e lo scomponi in fattori.
dopodiche', imposti sistema col secondo membro, e risolvi in termini
di p ed x. di tutte le sol, consideri solo quelle in cui p e' primo.

non ho verificato se otteniamo la stessa cosa...