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Mostrare che $ \displaystyle 24 \binom {n}{4} + 1 $ è sempre un quadrato perfetto per $ n>4 $

Uso l'induzione.
per $n=5$ è vero, viene 121.
ora suppongo che sia vero per n, dunque ho che ${n!\over (n-4)!}+1=n(n-1)(n-2)(n-3)+1$ è un quadrato perfetto.
vedo che succede con n+1: ${(n+1)!\over (n-3)!}+1=n(n+1)(n-1)(n-2)+1$ che è esattamente la cosa di sopra con n+1 al posto di n.
finito

Scusa la brevità, ma con il telefono non sono molto comodo...

Direi che non è la stessa cosa... devi dimostrare che quello è sempre un quadrato.. tu hai fatto vedere che sia n che n+1 sono chiaramente prodotto di 4 interi consecutivi +1. Il testo potevo tranquillametne scriverlo come: mostrare che il prodotto di 4 interi consecutivi + 1 è sempre un quadrato perfetto.

Lo è per n naturale, infatti sia 1 che 25 sono quadrati.

Comunque, $24\binom n 4 +1 = n(n-1)(n-2)(n-3) + 1 = n^4 -6n^3 + 11n^2 -6n + 1 = (n^2 -3n + 1)^2$

sasha™ ha scritto:Lo è per n naturale, infatti sia 1 che 25 sono quadrati.

Comunque, $24\binom n 4 +1 = n(n-1)(n-2)(n-3) + 1 = n^4 -6n^3 + 11n^2 -6n + 1 = (n^2 -3n + 1)^2$

Esatto. Comunque era chiaro n naturale.. l'avevo scritto con il coefficente binomiale apposta...

Intendevo che vale anche per $n≤4$.