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Sia $ x $ la più piccola delle due soluzioni dell’equazione $ x^{2} - 4x + 2 = 0 $. Determinare le
prime tre cifre dopo la virgola nella scrittura (in base $ 10 $) del numero $ x+x^{2}+x^{3}+...+x^{2009} $.
Premetto che non saprei proprio come risolverlo ma so per certo che è un problema olimpico vista la fonte da cui l'ho preso.
Naturalmente la prima parte, cioè trovare $ x=2-\sqrt{2} $ l'ho fatta. In pratica vorrei capire come continuare xD

Da qui in poi ti serve la formula dalla serie geometrica(che puoi cercare tranquillamente su wikipedia).
Questa formula ti permette di calcolare $1+x+x^2+...+x^n$ dati n ed x.
Tu hai che $x=2+\sqrt2$$\rightarrow x(1+x+x^2+...+x^{2008})=x(\frac{1-x^{2009}}{1-x})$, da qui sai che $(2-\sqrt2)^{2008}$ è talmente piccolo che sicuramente le prime 3 cifre dopo la virgola saranno 000.da qui la tua operazione diventa $\frac {x}{1-x}$ cioè $\frac{\sqrt2(\sqrt2-1)}{\sqrt2-1}$.
Da qui sai che il risultato della somma iniziale è (praticamente) uguale a $\sqrt2$, quindi le prime 3 cifre dopo la virgola sono 414.
Dimmi se non sono stato chiaro,o se non hai capito qualcosa

Si, sei stato chiarissimo, la cosa bella è che quella formula la conoscevo e l'ho usata diverse volte nei casi in cui la base era un numero intero. Non so perchè ma stavolta non mi era proprio venuta in mente. (uff.. è snervante non saper applicare le cose imparate )