OliForum Matematico

Dato $ A=\left \{ 1,2,...,2009 \right \} $

calcolare
$ \sum_{A_{1}, A_{2},...,A_{k}} \ \left | A_{1} \cap A_{2},...,A_{k} \right |^{2} $

A me viene così:

Chi sono $A_1, A_2,\cdots ,A_k$ e chi è k?

Scusa, cerco di essere più chiaro:
Fissiamo un certo k(k>0),cerchiamo k sottoinsiemi di A e su tutti i possibili sottoinsiemi di A sommiamo la cardinalità al quadrato della loro intersezione

Dunque tu scegli un certo $k$ fissato compreso tra $1$ e $2^{2009}$, quindi prendi tutte le k-uple ordinate di sottoinsiemi di A e per ogni k-upla fai l'intersezione dei k sottoinsiemi, prendi la sua cardinalità e la elevi al quadrato; infine sommi tutti questi quadrati che ottieni da tutte le k-uple. Dimmi se ho capito.

qualcuno conferma che
$ \sum_{i=1}^{n} \ \binom{n}{i}\cdot i^{2}=2^{n-1} \binom{n+1}{2} $ ?

Sì. anche a me viene così.
$\sum \binom{n}{i} i^2=$
$=\sum 2\binom{n}{i}\binom{i}{2}+\binom{n}{i}i=$
$=\sum 2\binom{n-2}{i-2}\binom{n}{2}+\binom{n-1}{i-1}n=$
$=2^{n-1}\binom{n}{2}+2^{n-1}n=2^{n-1}\binom{n+1}{2}$

Sì Anér, hai capito bene!

EDIT
k è compreso tra $ 1 $ e $ 2^{2009} $