OliForum Matematico

stò leggendo un libricino nel quale c'è un esercizio da risolvere con l'induzione (c'è una stellina accanto quindi dovrebbe essere non semplicissimo da risolvere)

io ci ho provato ma l'unica cosa che riesco a fare è semplificare un pò, sicuramente per voi sarà semplicissimo

$ 1 + 2q + 3q^2 + ... + nq^(n-1) = [1 - (n+1)q^n + nq^(n+1)]/(1-q)^2 $

buon divertimento XD

Lol mi ci vorrebbe molto Latex..

Da quanto devo partire? Da $ 1 $ o da $ 0 $?

Vabbè parto da 1.

$ 1= \frac{1-2q+q^2}{(1-q)^2} $ ---> OK!

Ora faccio la differenza tra l'equazione in $ n+1 $ e quella in $ n $
E mi viene:
$ (n+1)q^n = \frac{1-(n+2)q^{n+1} + (n+1)q^{n+2}}{(1-q)^2} - \frac{1-(n+1)q^n + nq^{n+1}}{(1-q)^2} $

Svolgendo i conti arrivo all'identità.

Però ho un dubbio... Nelle dimostrazioni per induzione è lecito fare la differenza tra l'equazione in $ n+1 $ e quella in $ n $? A me sembra che fili a rigor di logica, però siccome sono le prime che faccio non so se è lecito.

Vabbò faccio un commento inutile (sperando di non dire stupidaggini, visto che di analisi non so proprio niente)

Quell'identità si poteva anche ottenere da questa
$$1+x+x^2+\dots +x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$
derivando rispetto ad $x$, o almeno questo è l'unica interpretazione "sensata" che son riuscito a dare (perchè a prima vista mi sembrava davvero orribile! ).

In questi ultimi 3 giorni ho sentito troppo spesso la parola "derivare", mi sa che devo approfondire.. Comunque vorrei sapere se una dimostrazione come quella che ho fatto sopra può essere considerata induttiva, perchè ho visto altre dimostrazioni per induzione ma non ho visto l'utilizzo della differenza, quindi mi viene il dubbio che non si possa fare.

xXStephXx ha scritto: Però ho un dubbio... Nelle dimostrazioni per induzione è lecito fare la differenza tra l'equazione in $ n+1 $ e quella in $ n $? A me sembra che fili a rigor di logica, però siccome sono le prime che faccio non so se è lecito.

non lo so XD

xXStephXx ha scritto:
Però ho un dubbio... Nelle dimostrazioni per induzione è lecito fare la differenza tra l'equazione in $ n+1 $ e quella in $ n $? A me sembra che fili a rigor di logica, però siccome sono le prime che faccio non so se è lecito.

Sì il procedimento è esatto e coincide con quello che avrei fatto io:
-ho provato con $n=1$ e mi sono accorto che funzionava.
Dopo all' equazione iniziale ho sostituito $(n+1)$ ad $n$, così la parte di sinistra differiva solo per un $(n+1)q^n$ alla fine mentre la parte di destra era modificata come hai fatto tu.
Ora alla parte di sinistra della seconda equazione ho sostituito il membro di destra dell'equazione iniziale(escluso $(n+1)q^n)$ e svolto i calcoli.
Se vuoi verificare ti accorgi che è più o meno identico a come hai fatto tu...

Soluzione senza induzione:
Riscrivo la tesi moltiplicando per il denominatore: $(1-q)^2\sum_{i=0}^{n-1}iq^i=1-nq^n-q^n+nq^{n+1}$
Moltiplicando $1-q$ per la sommatoria ottengo: $(1-q)(\sum_{i=0}^{n-1}q^i-nq^n)=1-q^n-(1-q)nq^n$
Svolgendo il prodotto ottengo: $(1-q)\sum q^i=1-q^n$ che è un fatto noto.