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Trovare tutte le terna di numeri $m,n,p$ dove $p$ è primo e $m,n$ sono interi positivi tali che $p^n+144=m^2$

Io trovo solo: $ (20,8,2) $, $ (20, 4, 4) $, $ (20, 2, 16) $, $ (20, 1, 256) $, $ (15,4,3) $, $ (15, 2, 9) $, $ (15, 1, 81) $, $ (13,2,5) $, $ (13, 1, 25) $.
Non vorrei aver fatto errori di trascrizione o averne tralasciata qualcuna.

Azz non avevo letto $ p $ primo.. Allora sono molte di meno..

$ (20,8,2) $, $ (15,4,3) $, $ (13,2,5) $

Forse ti sei confuso, $p$ deve essere primo, nella seconda, quarta e settima terna che hai scritto non ci sono primi...

Ok, ho editato... xD Comunque il procedimento è stato (forse non tanto rigoroso)..

$ p^n = (m+12)(m-12) $.

Quindi devo trovare due potenze di un numero aventi $ 24 $ di differenza. Allora sono andato un po' per tentativi. Ho visto che $ 27-24 = 3 $, $ 32-24=8 $ e $ 25-24=1 $. Poi ho visto che per le potenze successive la differenza tra due potenze diventa maggiore di $ 24 $. (è da dimostrare?)

Forse non è il metodo migliore per risolvere la diofantea, però è esatto e comunque la tua affermazione andrebbe dimostrata,ma non è complicato,provaci .

Ok, forse ho trovato un metodo più serio che però non riesco a concludere.

Se $ n $ è pari ho che $ n=2k $.

Quindi
$ 144 = (m+p^k)(m-p^k) $
Da qui, provando tutte le coppie moltiplicative di $ 144 $ posso avere la certezza che per $ n $ pari non ce ne siano altre.

Ora però devo dimostrare che $ n $ non può essere dispari.. (e non so come fare..)

Tornando alla dimostrazione precedente, che forse mi sembra più fattibile...
Se $ n \geq6 $, ho che la differenza tra la potenza di primo grado e quella di secondo grado è $ n^2-n $, ovvero $ n(n-1) $. Che come si può notare è maggiore di $ 24 $. Aumentando $ n $ la differenza cresce sempre di più. Infatti per $ (n+1)(n+1-1) > n(n-1) $. Quindi se già la differenza tra $ n^1 $ ed $ n^2 $ è maggiore di $ 24 $ per $ n \geq 6 $, a parità di $ n $ la differenza tra le potenze successive sarà ancora maggiore (le potenze crescono in progressione geometrica) e aumentando $ n $,

Ho immediatamente che $p^n=(m+12)(m-12)$
essendo p primo devo avere necessariamente $m+12=p^x$ e $m-12=p^y$ con $x+y=n$.
Dunque $p^x-p^y=24$ e raccogliendo $p^y(p^{x-y}-1)=24$ ma gli unici divisori di 24 della forma $p^y$ sono 2,3,4,8. Bisogna anche ricordarsi di $y=0$. Provando tutti questi numeri ottengo le soluzioni $(p,n,m)=(3,4,15);(2,8,20);(5,2,13)$ che in base a quanto detto prima sono anche le uniche.

E il modo ottimale per risolvere questa diofantea qual'è? Siccome voglio esercitarmi nei dimostrativi sono curioso.
Cioè, oltre a questa scomposizione si possono fare altre scomposizioni che con ragionamento diverso portino alla stessa soluzione?

Non saprei... forse ci sono altri modi, ma sono più lenti.
ad esempio io ho provato diverse scomposizioni prima di avere l'illuminazione...
Sono arrivato a vedere un'AM-GM che però non ho approfondito, avendo trovato la strada...

L'unico modo per "vedere" l'equazione dall'ottica giusta è l'allenamento...