OliForum Matematico

1)
Stabilire per quali coppie di numeri primi (positivi) $ p,q $ il polinomio $ f(x)= x^2-(7q+1)x +2p $ ha due radici intere.
(Io credo che sia più di TdN che di Algebra, se ho sbagliato sezione fatemelo notare)...


2)
Stabilire quante sono le terne ordinate di numeri naturali $ (x,y,z) $ tali che $ 6x+10y+15z=2400 $



3)
Quali numeri naturali non possono essere ottenuti come differenza dei quadrati di due interi? Si dimostri la risposta fornita.

Intanto mettete le vostre soluzioni, perchè vorrei confrontarle con le mie..

Già che c'ero ho aggiunto un terzo esercizio..

1) chiamando $a,b$ le due soluzioni devo avere $ab=2p$ (1) e $a+b=-(7q+1)$ (2). Dalla (1) ricavo che ho le seguenti possibilità, dato che $p$ è primo: $(a,b)=(\pm 1,\pm 2p);(\pm 2, \pm p)$ e viceversa. Dalla (2) ho che entrambe le soluzioni sono negative. Quindi le sostituisco nella (1) : $2p+1=7q+1$ , da cui l'unica soluzione è $(p,q)=(7,2)$ ; secondo caso $p+2=7q+1\rightarrow p+1=7q$ con $p$ dispari c'è la soluzione $(13,2)$ , con q dispari non ce ne sono.
Le uniche soluzioni sono $(p,q)=(7,2);(13,2)$

Occhio che $ a+b=-(-(7q+1)) $ Comunque poco importa.. alla fine ci torna lo stesso risultato.. Quindi un esercizio l'ho fatto giusto sicuramente.. bene..

xXStephXx ha scritto:1)
Stabilire per quali coppie di numeri primi (positivi) $ p,q $ il polinomio $ f(x)= x^2-(7q+1)x +2p $ ha due radici intere.

$ x^2-(7q+1)x +2p=(x-1)(x-2p) $ porta alla soluzione (2,7)
$ x^2-(7q+1)x +2p=(x-2)(x-p) $ porta a (2,13)

2) Raccolgo: $3(2x+5z)=10(240-y)$ da qui $3\mid y\rightarrow y:=3y'$ Sostituisco nell'eq. iniziale e ho che $6x+30y'+15z=2400\rightarrow 2x+10y'+5z=800$ (1);
raccolgo di nuovo: $5(2y'+z)=2(400-x)\rightarrow 5\mid x\rightarrow x:=5x'$ . Sostituisco nella (1) : $10x'+10y'+5z=800\rightarrow 2x'+2y'+z=160$ (2) ;
Dunque $z$ deve essere pari $\rightarrow z:=2z'$ . Sostituisco nella (2) : $2x'+2y'+2z'=160\rightarrow x'+y'+z'=80$
Dato che $x,y,z$ dipendono solamente dal valore di $x',y',z'$ , mi basta trovare in quanti modi posso scegliere queste ultime tre variabili.
Il numero di soluzioni è quindi $\binom{83}{3}$ (se tra i naturali conti lo 0, ma non penso...)
Altrimenti... ci penso dopo che ora devo uscire!

L'esercizio 1 è esatto ma nel 2 drago96 ha commesso un piccolo errore...
dopo che hai ricavato $x'+y'+z'=80$ la formula che devi applicare è $\displaystyle\binom{n+k-1}{k}$ da cui arrivi a $\displaystyle\binom{82}{2}$, non $\displaystyle\binom {83}{3}$ .
Per il 3° penso che questo post basta e avanza... viewtopic.php?f=15&t=15947&p=136945&hil ... ti#p136945

Sì, scusate...
A dire il vero io non ho applicato la formula... ho fatto come qua!
Però mi devo essere convinto che i separatori erano 3...

Chiedo di nuovo se tra i naturali si comprende lo 0...

In questo tipo di esercizi fra i naturali è praticamente sempre incluso lo 0...

Numeri naturali = interi positivi + 0.

Ora bisogna immaginare di scomporre $ 80 $ in unità..
Dunque...
$ 1+1+1+1+...+1 | 1+1+1+1+...+1 | 1+1+1+1+...+1 $
Quindi bisogna anagrammare 82 elementi di cui due sono separatori e 80 le unità.
La formula è $ \binom{82}{2} $.

Ok sto a 2 esercizi esatti.. Quindi minimo 14 punti...

Si possono scrivere tutti quelli della forma $n(n+2x)$ ...
Un po' troppo generica, forse...

Ma da dove arrivano? Cesenatico?

No, provengono tutti dal test finale dello stage SPOR_basic del 2011. Che era a modello di Cesenatico, c'erano 6 dimostrativi con valutazione da 0 a 7 ciascuno.

Comunque la dimostrazione è troppo generica, prova magari a ragionare modulo 4.

Ho appena ricevuto le soluzioni, dovrei aver fatto giusto l'1 il 4 il 5, il 2 l'ho svolto in modo diverso ma forse è corretto.
Comunque l'1 e il 2 che c'erano là non corrispondono all'1 e al 2 di questo thread (l'ordine non era quello).