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determinare tutte le soluzioni intere dell'equazione $ y^2=x^3+16 $

mh non sono sicuro..

scompongo l'equazione in: (y-4)*(y+4)=x^3

ora, due casi:
- (y-4) e (y+4) sono entrambi cubi
- (y-4)=x e (y+4)=x^2

primo caso:
se sono entrambi cubi, la loro differenza è 8, e non esistono 2 cubi che distano 8 tra loro, quindi nessuna soluzione.

secondo caso:
y+4=y^2 -8y +16
y^2 -9y +12 =0, che da due soluzioni irrazionali..

quindi l'equazione non ha soluzioni.. giusto?

la prima cosa che ho notato è una curva ellittica, che ovviamente non so usare xD

Non puoi fermarti a cuei due casi senza dire niente. Innanzitutto devi dire che i due numeri (y+4) e (y-4) distano 8, quindi se sono entrambi dispari dovrebbero essere due cubi che distano 8 (8,0) e (0,-8) da cui le soluzioni $ (x,y)=(0, \pm 4) $. Se sono pari allora sono due pari che distano di 8 e modulo 16 (non servirebbe quasi) si nota facilmente che 8 divide esattamente uno dei due, da cui segue che sono entrambi cubi e concludi con le soluzioni di sopra.

Karl Zsigmondy ha scritto:Non puoi fermarti a cuei due casi senza dire niente. Innanzitutto devi dire che i due numeri (y+4) e (y-4) distano 8, quindi se sono entrambi dispari dovrebbero essere due cubi che distano 8 (8,0) e (0,-8) da cui le soluzioni $ (x,y)=(0, \pm 4) $. Se sono pari allora sono due pari che distano di 8 e modulo 16 (non servirebbe quasi) si nota facilmente che 8 divide esattamente uno dei due, da cui segue che sono entrambi cubi e concludi con le soluzioni di sopra.

ah ho capito...

si, effettivamente non avevo considerato lo 0 come soluzione accettabile..

Visto che ho introdotto la moda, propongo un altro problema più strettamente legato alle suddette curve: dimostrare che $y^2=x^3+n$ ha un numero finito di soluzioni intere per $n=16, -144, -432, 3888$.

si può dare per noto che hanno tutte rango 0?

Beh comunque dando per noto che hanno tutte rango 0 è facile verificare la tesi a mano applicando il teorema di Nagell-Lutz

fraboz ha scritto:Beh comunque dando per noto che hanno tutte rango 0 è facile verificare la tesi a mano applicando il teorema di Nagell-Lutz

Ti sei risposto da solo