OliForum Matematico

Propongo un problema della normale, prova 1998:
<BR>
<BR>Dati due interi pari m e n con m<n, dimostrare che se k è un reale tale che
<BR>k> (m^2+n^2)/2 allora il polinomio p(x)=(x^2+k)(x-m)(x-n)+1 ha due radici reali e due non reali.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: RedXIII il 25-08-2003 17:53 ]

credo che tu intendessi non \"soluzioni\", bensi\' \"radici\"... se e\' cosi\' allora ecco come ho fatto:
<BR>
<BR>ponendo p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) con a,b,c,d complessi
<BR>
<BR>e identificando i vari coefficienti si ottiene
<BR>
<BR>a^2+b^2+c^2+d^2<0
<BR>
<BR>dunque o due o 4 fra a,b,c,d sono non reali.
<BR>se m=-n allora otteniamo facilmente che ci sono due radici reali e due no (viene una biquadratica).
<BR>Per m+n=/=0, ponendo p(x) nella forma
<BR>
<BR>((x^4+kx^2+1)/(x^2+k)-((m+n)x-mn))(x^2+k)
<BR>si ha che il primo termine (la frazione) e\' sempre >0 mentre il secondo lo e\' solo per x>mn/(m+n). dunque anche qui ci sono almeno 2 radici reali, per il teorema di lagrange (credo).
<BR>
<BR>non mi sembra per nulla brillante come soluzione, spero sia meglio di niente (ma ricordando che niente e\' meglio del teorema di Godel, la vedo dura.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
<BR>Bye!Mircea